- •1. Определение и вывод уравнения эллипса.
- •9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля
- •10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю
- •12. Основная теорема о поверхностях 2го порядка.
- •13. Цилиндрические поверхности
- •14. Конические поверхности второго порядка.
- •15. Применение универсального метода сечения на примере исследования свойств эллипсоида.
- •21. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •22. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора
- •26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности
- •27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса
- •28.Подпространства линейного пространства. Операции на подпространствах
- •29.Формула Грассмана. Прямая сумма подпространств
- •Вопрос 30: Линейная оболочка системы векторов
- •Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений
- •32. Свойства линейных отображений
- •33. Линейный оператор, его матрица.
- •Вопрос 34:Координаты образа вектора при дейсвии линйного оператора
- •Вопрос 35:Изменение матрицы оператора при замене базиса
- •36.Ядро и образ линейного отображения.
- •37. Ранг и дефект лин оператора
- •38. Действия над лин опер и их связь с действиями над матрицами
- •39. Подобие матриц. Опред лин опер
- •40.Характеристич мног лин опер. Собственные значения и собственные век
- •41.Инвариантные подпространства.
- •42.Диагонализируемость линейного пространства.
- •43.Опред и примеры евклидовых пространств.
- •44.Неравенство Коши-Буняковского
- •45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.
- •46.Ортонормированный базис.
- •47.Изоморфизм евклид прост.
- •48.Сопряжонный лин оператор
- •49.Ортогональны лин опер
- •50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
- •51. Критерий самосопряженности линейного оператора
- •52.Ортогональное дополнение
- •53. Определение квадратичной формы.Лин преобраз переменных
- •54.Метод Лагранжа приведение квадратичной формы к квадратичному виду.
- •55. Индекс и закон инерций квадратичных форм
- •56.Приведение действительной квадратичной формы к канонич виду с помощью ортогонального преобраз перемененных.
- •57.Нормальный вид действительной квадратичной формы.
- •58.Нормальный вид комплексной квадратичной формы.
- •59.Знакоопределённые квадратичные формы.
- •60.Критерий Сильвестра
43.Опред и примеры евклидовых пространств.
Опред: V –дейст век прос. Говорим что на V зад скаляр произв, если каждой паре век а,bЄV постав в соответ дейст числа (а,b), причем вып некот аксиомы:
1)(а,b)=(b,a) для всех a,bЄV
2)(a+b,c)=(a,c)+(b,c) для всех a,b,сЄV
3)(αa,c)=α(a,c) для всех a,bЄV и αЄR
4)(0,a)=0, для всех a≠0
Дейст век прос с зад на нем скалярным произ наз Евлидовым пространством.
Пр:
1)V3 cкал произ (a,b)=/a/*/b/*cosα C таким каляр произ становится евклидовым
2)С[a,b], для всех f,gЄ С[a,b] (f,g)a∫bf(x)g(x)dx
3)Rn, x=(х1,х2…хn)ЄRn ; y=(y1,y2…yn)ЄRn (x,y)= х1 y1, х2 y2… хn yn=
Теорема: всех конечномер век прост можно превратить в Евклидово.
Док: е1,е2…еn ;x=x1е1+x2е2+…+xnеn ;(x,y)=
Опред:длинной век x в Евклид простран наз число //x//=sqrt(x,x) для геомет век
С[a,b] //f//=sqrt(a∫bf2(x)dx) Rn: //x//=sqrt()
Век длинна, кот =1 наз нормированным. Умнож не нулевого век на число обратное длине наз нормирование. Для всех xЄV, x≠θ
//(1/ //x//)//=sqrt((1/ //x//)x,(1/ //x//)x)=sqrt((1/ //x//2)(x,x))=(1/ //x//)sqrt((x,x))=(1/ //x//)//x//=1
44.Неравенство Коши-Буняковского
Теорема: (Коши-Буняковского) Для люб 2 век a,b евклид прос /(a,b)/<=//a//*//b//
Док:с помощ док можно вывести понятие угла между век -1<=((a.b)/ //a//*//b//)<=1
cosφ=(a,b)/ //a//*//b// φЄ[0,π]
Теорема:в евклид прост для люб век a,b верно:
1)//a+b//2=//a//2+//b//2-2//a//*//b//cosφ
2)//a+b//<=//a//+//b//
45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.
Опред: вект a,b евклид прост наз ортогон, если (a,b)=0 (a┴b-обознач). Сист век е1,е2…еn евклид прос наз ортог, если все пары век. Док сист ортог , т.е. еi┴ej для всех i≠j.
Будем пологать, если сист сост из 1 ненул век и сист ортог из нормир эта ортонормированная.
Пр: С[a,b] f(x)=x g(x)=x2
Док, что они ортонорм
(f(x),g(x))=-1∫1x*x2dx=x4/4 -1│1=0
Теорема:ортогон сист ненул век евклид прост лин незав.
Док: е1,е2…еn-ортогон сист ненул век. От противного:док что она лин завис , т.е. сущ коэфф α1,α2…αn, α1е1+ α2е2+…+αnеn=θ.
α1≠0
умнож обе части рав скал на еi=> α1(е1,е1)+α2(е2,е1)+…+αn(еn,е1)=(θ,е1) т.к. сист век ортог
α1(е1,е1)=0 => α1=0
≠0
Противоречие
Ортог сист играют фундам роль.
Задача: перейти от зад сист век Евклид прост к некот ортог сист .Такой переход назыв процессом.
Рассмотрим процесс ортогонализ Грамма-Шмидта:
Пусть а1,а2…аn лин незав сист век евклид прост Vо век этой сист будем послед строить ортогон сист век b1,b2…bn такие b1= а1, b2=а2+λ1b1, где λ1-находится ((b1а1)/( b1b1)) и т.д.
b1= а1+ λ1b1+ λ2b2+…+ λe-1be-1 λi=((ae;bi)/(bi,bi)) для i=1,e-1.
46.Ортонормированный базис.
Теорема: в ненул конечномерн евкл прос сущ ортонормир базис.
Док:пусть а1,а2…аn нек базис евклид прос .Прин к нему процесс ортогонализ. И получ ортогон сист век b1,b2…bn По пред теореме лин незав .Т.е. мы получ ортогон базисы.
47.Изоморфизм евклид прост.
Теорема:два конечном евклид прос евклидово-изоморфны, т и т т к они совпадают. Каждая n мерное евклид прос изоморфно.
Пр1: x=(х1,х2…хn) y=(y1,y2…yn) f(x,y)=(х1+х2+…+хn)(y1+y2+…+yn)
Может ли эта a служить скал произ в прост Rn
1)f(x,y)=f(y,x) выполняется
2)f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z), где z=(z1,z2…zn)
(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xn+yn)(z1+z2+…+zn)=(x1+x2+…+xn)(z1+z2+…+zn)+(y1+y2+…+yn) (z1+z2+…+zn)
3)f(αx,y)=αf(x,y)
4)x≠0 f(x,x)>0
a=(1;-1;0;…;0)≠θ
f(a,a)=(-1;1)=0 невып
Пр2: Даны век е1,е2,е3 образ ортог базис евклид прост найти угол φ между векторами а1=е1+е2-е3
B1=е1+е2+е3
Если //е1//=2, //е2//=1, //е3//=3 (длины)
cosφ=(a,b)/(//a//*//b//), (a,b)=(е1+е2-е3)(е1+е2+е3)=//е1//2+//е2//2-//е3//2=-4
//a//=sqrt((е1+е2-е3)(е1+е2-е3))=sqrt(//е1//+//е2//-//е3//)=sqrt(14) φ=-4/14=-2/7
Пр3: прим произ ортог по зад базису x1=(1;-1;2) x=(-1;0;-1) λ3=(5;-3;-7) b1=(1;-2;2)
λ1=-3/9=-1/3, b2=x2-(1/3)*b1 b2=(-2/3;2/3;-1/3)
λ2=(-10/3+6/3+4/3)/(4/9+4/9+1/9)=-1 b3=()
//b1//=b1/ //b1//, //b1//=sqrt(9)=3
//b2//=sqrt(1)=1, //b3//=sqrt(81)=9, y1=(1/3;-2/3;2/3) , y2=( ) , y3=(2/3;-1/3;2/3)