- •1. Определение и вывод уравнения эллипса.
- •9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля
- •10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю
- •12. Основная теорема о поверхностях 2го порядка.
- •13. Цилиндрические поверхности
- •14. Конические поверхности второго порядка.
- •15. Применение универсального метода сечения на примере исследования свойств эллипсоида.
- •21. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •22. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора
- •26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности
- •27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса
- •28.Подпространства линейного пространства. Операции на подпространствах
- •29.Формула Грассмана. Прямая сумма подпространств
- •Вопрос 30: Линейная оболочка системы векторов
- •Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений
- •32. Свойства линейных отображений
- •33. Линейный оператор, его матрица.
- •Вопрос 34:Координаты образа вектора при дейсвии линйного оператора
- •Вопрос 35:Изменение матрицы оператора при замене базиса
- •36.Ядро и образ линейного отображения.
- •37. Ранг и дефект лин оператора
- •38. Действия над лин опер и их связь с действиями над матрицами
- •39. Подобие матриц. Опред лин опер
- •40.Характеристич мног лин опер. Собственные значения и собственные век
- •41.Инвариантные подпространства.
- •42.Диагонализируемость линейного пространства.
- •43.Опред и примеры евклидовых пространств.
- •44.Неравенство Коши-Буняковского
- •45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.
- •46.Ортонормированный базис.
- •47.Изоморфизм евклид прост.
- •48.Сопряжонный лин оператор
- •49.Ортогональны лин опер
- •50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
- •51. Критерий самосопряженности линейного оператора
- •52.Ортогональное дополнение
- •53. Определение квадратичной формы.Лин преобраз переменных
- •54.Метод Лагранжа приведение квадратичной формы к квадратичному виду.
- •55. Индекс и закон инерций квадратичных форм
- •56.Приведение действительной квадратичной формы к канонич виду с помощью ортогонального преобраз перемененных.
- •57.Нормальный вид действительной квадратичной формы.
- •58.Нормальный вид комплексной квадратичной формы.
- •59.Знакоопределённые квадратичные формы.
- •60.Критерий Сильвестра
59.Знакоопределённые квадратичные формы.
Опред:число полож и число отриц коэф в норм виде дейст квад форм наз полож индексом инерции этой квад формы, а число отриц коэф её отриц индексом инерции.
Опред: Дейст квад форма f(х1,х2…хn) наз полож опред, если для всех n действ чисел а1,а2…аn из которых хотябы одного отлич от 0, имеет место нерав-во f(а1,а2…аn)>0
Дейст квад форма f(х1,х2…хn) наз отриц-но опред, если для люб n дейст чисел а1,а2…аn, из кот хотя бы одно отлично от 0, имеет место нер-во f(а1,а2…аn)<0.
Положит и отриц опред квад формы наз знакоопред.
Лемма1:Если к перем полож опред квад формы прим невырож лин преобраз, то получ квад форма также явл полож опред.
Док:Применим к перем х1,х2…хn полож опред квад формы f(х1,х2…хn)невырож лин преобраз по формулам (***)
x1=a11y1+a12y12+…+a1nyn
x2=a21y1+a22y2+…+a2nyn
…
Xn=an1y1+an2y2+…+annyn
Вводя переменные y1,y2…yn в исход квад форму получим f(х1,х2…хn)=g(y1,y2…yn). Предположим, что квад форма g не явл полож опред, тогда найдеься набор чисел у10,y20…yn0, не все из кот равны 0, и для кот g(у10,y20…yn0)<=0. Подставляя числа yi0 в (***) получим n дейст чисел x10,x20…xn0.Возмож два случая:
1)все числа xi0=0 => числа у10,y20…yn0 явл решением однородной системы
a11y1+a12y12+…+a1nyn=0
a21y1+a22y2+…+a2nyn=0
…
an1y1+an2y2+…+annyn=0
С мат А=(aij), det A≠0 в силу невырож преобраз. => Эта система имеет! Нулевое решение у10=y20=…=yn0=0 пришли к противоречию
2)Среди чисел xi0 есть ≠0, тогда f(x10,x20…xn0)= g(у10,y20…yn0<=0 =>f не явл полож опред квад формой. Противоречие. Анологично док след результат.
Лемма: Если к перем отриц опред квад формы примен невырож лин преобраз, то получ квад форма так же явл отриц опред.
На след 2-ух теоремах основ способы распознания характера опред дейст квад формы путем приведения ее к канонич виду.
Теорема: Для того, что бы дейст квад форма от n переменных была полож опред полож индекс инерции этой квадрируемой формы был =4.
Док: 1)Необх: пусть f(x)- полож опред квад форма и пусть ее положи индекс инерции = k<4. Gj теореме сущ невырож лин преобраз перем х1,х2…хn приводяцее квад форму f к норм виду g(y1,y2…yn)=y12+y22+…+yk2+εk+1yk+12+εkyk2, где εiЄ{-1,0}. По лемме квад форме g полож опред. Возьмем и дейст чисел у10=0, y20=0…yk0=0, yk+10=1, yk+20=0… yn0=0. При подстан этих чисел в квад форму мы подучим, что g(y1,y2…yn)<=0 =>rdfl форма не явл полож опред. Получим противоречие =>k=n.
2)Дост. Пусть теперь полож индекс инерции квад формы f(х1,х2…хn)=n. По теореме эта форма с помощью некот невырож лин преобраз перем ХТ=АУТ приодится к норм виду g(y1,y2…yn)=y12+y22+…+yn2. Очевидно форма g полож опред. Т.к. обратное лин преобраз переем УТ=А-1ХТявл невырож, то по лемме форма f явл полож опред.
Анологично док:
Теорема: Для того, что бы дейст квад форма от n переем была отриц оперд отриц индекс инерции этой квад формы был =n.
Опред: Главными минорами ква мат
a11 a12 ... a1n
А=a21 a22 … a2n
…
a1n an2 … ann
наз миноры:
∆1=/а11/,
∆2=а11 а12
а21 а22 ,
∆3=a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33,
...
∆т=a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
…
an1 an2 ... ann
Т.к. миноры располож в левом верхнем углу мат А.
Лемма: Знак опред мат дейст квад формы не меняется при применении к этой форме невырож или преобраз перем.
Следствие: Опред мат палож опред квад формы-полож число