- •Числові методи
- •1. Методи розв’язування нелінійних рівнянь та систем
- •Коротко розглянемо кожний з методів.
- •I. Метод дихотомії.
- •II. Метод простої ітерації (умовно-збіжний метод).
- •III Метод релаксації.
- •IV Метод Ньютона.
- •Система нелінійних рівнянь
- •Метод простої ітерації (мпі).
- •Метод релаксації.
- •1. Метод Пікара.
- •2. Метод Якобі.
- •2. Чисельні методи розв’язання систем лінійних рівнянь. Числа обумовленості слр.
- •Прямі методи
- •I. Метод Гауса та його модифікації.
- •II Метод віддзеркалення.
- •III Для специфічних матриць:
- •Ітераційні методи
- •3. Методи інтерполювання. Множники Лагранжа та Ерміта. Сплайни.
- •Сплайни.
- •4. Методи чисельного інтегрування.
- •Теорема чисельного інтегрування:
- •5. Чисельні методи розв’язання задачі Коші.
- •1. Метод Ейлера
- •3. Метод Рунге-Кутта
- •Найпопулярнішою є формула Рунге-Кутта 4-го порядку точності:
5. Чисельні методи розв’язання задачі Коші.
Розглянемо диференційне рівняння першого порядку:
(1).
Задача Коші полягає в наступному: знайти розв’язок u(x) рівняння , що задовольняє початкову умову (2). Функція u(x) може бути як скалярною, так і векторною.
Загальний вигляд задачі Коші для n-го порядку звичайних диференційних рівнянь має вигляд:
(3). Для такої задачі початкові умови записуються так: (4). Вони дозволяють виділити з мн-ни роз-ків єдиний роз-к:
.
Всі методи розв’язання задачі Коші діляться на 2 типа: 1) точні; 2) наближені. В свою чергу наближені поділяються на 2 типи: 1) аналітичні; 2) чисельні.
В аналітичних методах роз-к будується як послідовність функцій . Перевага цього роз-ку в тому, що він у вигляді функції. До аналітичних методів належать такі методи як метод послідовних наближень та метод степеневих рядів.
Чисельні методи дають роз-к лише на деякій мн-ні точок, тобто у вигляді таблиці. Ці значення теж будуть наближеними. Чисельні методи бувають однокрокові та багатокроккові. В однокрокових методах для знаходження роз-ку в якійсь точці використовується лише інформація в попередній точці. В бгатокрокових методах для знаходження роз-ку в якійсь точці використовується інформація в декількох попередніх точках.
Розглянемо деякі чисельні методи роз-ня задачі Коші.
. Якщо використати це рівняння то можемо написати: (5). Отже, якщо у нас було відоме , то ми зможемо знайти . Введемо сітку: . Тоді роз-к задачі (1), (2) на цій сітці можна одержати з (5) шляхом заміни інтеграла деякою квадратурною формулою:
1. Метод Ейлера
Замінимо інтеграл квадратурною формулою лівих прямокутників. Одержимо (6) – формула Ейлера.
2. Модифікований метод Ейлера.
Замінимо інтеграл квадратурною формулою правих прямокутників. Одержимо (7) (невідомі є і зліва і справа). Для того щоб застосувати цю формулу необхідно роз-ти нелінійні рівняння: . Можна зробити і іншим чином. Можна спочатку визначити , а потім використати його в правій частині (7). Це так званий модифікований метод Ейлера.
Спільні риси Методу Ейлера і модифікованого методу Ейлера: точність обох методів однакова. Похибка на кроці буде становити .
Відмінні риси: якщо метод Ейлера є умовно стійким, то модифікований метод Ейлера є стійким безумовно.
Щоб підвищити точність потрібно використовувати більш точні квадратурні формули для заміни інтегралу. Наприклад формулу середніх прямокутників: . Ця формула буде точніше на порядок за попередні формули. Похибка на кроці буде становити .
3. Метод Рунге-Кутта
Нехай маємо задачу Коші (1), (2). І нехай розв’язуючи задачу Коші ми дійшли до точки x і потрібно обчислити зн-ня роз-ку в точці x+h. Цей роз-к будемо шукати у вигляді: , де – вагові коефіцієнти, ……………. Отже, роз-к в наступній точці = роз-к в попередній точці + лінійна комбінація приросту. Розглянемо питання про вибір невідомих параметрів: , , . Розглянемо
ф-цію похибки на кроці. Якщо f(x,u) досить гладка ф-ція, то і ф-ція теж буде гладкою. Припустимо, що має похідні до порядку s+1 включно, тоді її можна подати у вигляді: (розклад в ряд Тейлора в околі точки 0). Якщо ми зможемо підібрати параметри p, α, β таким чином, щоб , а , то ми одержимо метод Рунге-Кутта s-го порядку точності на кроці.