![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Числові методи
- •1. Методи розв’язування нелінійних рівнянь та систем
- •Коротко розглянемо кожний з методів.
- •I. Метод дихотомії.
- •II. Метод простої ітерації (умовно-збіжний метод).
- •III Метод релаксації.
- •IV Метод Ньютона.
- •Система нелінійних рівнянь
- •Метод простої ітерації (мпі).
- •Метод релаксації.
- •1. Метод Пікара.
- •2. Метод Якобі.
- •2. Чисельні методи розв’язання систем лінійних рівнянь. Числа обумовленості слр.
- •Прямі методи
- •I. Метод Гауса та його модифікації.
- •II Метод віддзеркалення.
- •III Для специфічних матриць:
- •Ітераційні методи
- •3. Методи інтерполювання. Множники Лагранжа та Ерміта. Сплайни.
- •Сплайни.
- •4. Методи чисельного інтегрування.
- •Теорема чисельного інтегрування:
- •5. Чисельні методи розв’язання задачі Коші.
- •1. Метод Ейлера
- •3. Метод Рунге-Кутта
- •Найпопулярнішою є формула Рунге-Кутта 4-го порядку точності:
2. Чисельні методи розв’язання систем лінійних рівнянь. Числа обумовленості слр.
Розглянемо чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Ax=f (1)
де
A - матриця n*n, має обернену. x = (
, ... ,
)
- шуканий
вектор,
f
=(
-заданий вектор.
Припускаємо,
що визначник матриці А
відмінний від нуля, так що існує єдиний
розв’язок х.
Розрізняють прямі
та
ітераційні
методи роз-ня СЛР. У
прямих
(або точних) методах розв’язок x
системи (1) відшукується
за скінчену кількість арифметичних
дій. Внаслідок похибок заокруглення
прямі методи насправді не приводять до
точного розв’язку системи (1) і назвати
їх точними можливо лише залишаючи
осторонь похибки заокруглення. Ітераційні
методи (їх також називають
методами послідовних
наближень) полягають
у тому, що розв’язок x
системи (1) відшукується
як границя при
послідовних наближень
де
n- номер ітерації. Як правило, за скінчену
кількість ітерацій ця границя не
досягається. Як правило число
(точність)
задається і обчислення проводяться до
тих пір, поки не виконується умова
.
Прямі методи
перетворюється
в
,
де Ai
- матриці nn
такі, що системи з такими матрицями
розв’язуються легко. Позначимо
.
Тепер опишемо матриці, з якими легко
працювати:
P
- матриці, отримані перестановкою рядків
чи стовпчиків в одиничній матриці E. P -
ортогональні P-1=PT,
PM - перестановка рядків, NP - перестановка
стовпчиків.
,
pi
- на якому місці в i-му рядку стоїть 1
ортогональні
матриці: Q-1=QT,
- розв’язок
діагональні матриці
блоково - діагональні матриці, на діагоналі Жорданові клітини розміру 1 чи 2
нижні діагональні матриці (вище діагоналі - 0)
верхні трикутні матриці
I. Метод Гауса та його модифікації.
Запишемо систему (1) у розгорнутому вигляді:
(2)
Метод
Гаусса розв’язання системи (2) полягає
у послідовному вилученні невідомих
з цієї системи. Вважаємо, що a11
0,
поділимо 1-ше р-ня на a11:
(3)
Розглянемо тепер рівняння системи (2), що залишилися
;
i= 2,n . (4)
Помножимо
(3) на -
та додамо одержане рівняння до і-го
рівняння системи (4), i=2,n.
У результаті одержимо наступну систему рівнянь:
.
Ми отримаємо трикутну матрицю, де на
k-му кроці перетворення коефіцієнти
визначаються формулою
.
Виконується, коли ведучий елемент 0.
Якщо ведучий елемент =0, тоді у рядку
нижче шукають ненульовий елемент і
переставляють місцями рядки.
Виконані нами дії еквівалентні множенню обох частин початкової системи зліва на елементарну трикутну матрицю вигляду:
Не
важко побачити, що одне перетворення
методу Гауса еквівалентне множенню
системи на L1-1:
.
Нехай у нас уже оброблено і-1 стовпчик
початкової матриці. Тоді матриця Lі-1
матиме вигляд:
Продовжуючи
таким чином до останнього рівняння
одержимо систему з трикутною верхньою
матрицею,
де U=
A
– верхня трикутна матриця. Тобто
отримаємо:
.
Метод Гауса вимагає n3/3+О(n2) операцій додавання і віднімання і стільки ж операцій множення і ділення.
Ітераційне уточнення одержаного розв’язку:
Уточнення
не треба, якщо y має порядок похибки
округлення.