11. Методи побудови початкового опорного розв'язку задачі лінійного програмування.

Найбільш зручно починати обчислення за допомогою симплекс-методу з одиничного базису. Але не завжди розв’язувана задача має повний одиничний базис, якому відповідає базисний розв’язок. У таких випадках використовується метод введення штучного базису. Ідея методу полягає в тому, що в обмеження задачі штучно вводять декілька нових змінних таким чином, щоб нова система обмежень вже мала повний одиничний базис, якому відповідає базисний розв’язок нової системи обмежень.

Потім розв’язується ЗЛП з новою системою обмежень та з новою, спеціально побудованою, цільовою функцією.

В залежності від вигляду цільової функції нової задачі, її розв’язування або приводить до базисного розв’язку початкової задачі, або зразу ж до її оптимального розв’язку. М-метод розв’язування КЗЛП: Нехай маємо КЗЛП:

, , де . Допоміжна М-задача має вигляд: , , , (1.5.5) де — достатньо велике число. За використання штучних змінних в обмеженнях задачі вводиться великий штраф у вигляді коефіцієнту у цільовій функції при штучних змінних. М-задача розв’язується симплекс-методом з однією особливістю, яка пов’язана з коефіцієнтами у цільовій функції. Оцінки записуються у вигляді: . У симплекс-таблиці вводяться два рядка для запису та . Розв’язування М-задачі ведеться по рядку оцінок до тих пір, поки існують, а потім по рядку згідно з правилами симплекс-методу. Розв’язуючи КЗЛП, можна отримати три варіанта відповіді: а) у оптимальному розв’язку М-задачі всі . В цьому випадку оптимальним розв’язком початкової задачі (1.5.1) є вектор . б) у оптимальному розв’язку М-задачі хоча б одна із штучних координат . В цьому випадку можна довести, що початкова задача не має жодного допустимого розв’язку (). в) при достатньо великих цільова функція задачі (1.5.5) необмежена на допустимій множині: . Тоді і початкова задача нерозв’язувана, тобто .

11. Двоїстість в лінійному програмуванні. Пара двоїстих задач лінійного програмування. Правила побудови та зв'язок між розв'язками.

Кожній задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність іншу, спеціальним чином побудовану, задачу, яка називається двоїстою. Дві такі задачі утворюють пару взаємодвоїстих задач. Початкову задачу в такій парі називають прямою.

Вивчення теорії двоїстості почнемо з побудови пари двоїстих задач. Нехай дана задача лінійного програмування

(2.1.1)

яку будемо вважати прямою задачею. Двоїстою до неї буде наступна задача

(2.1.2)

Правила побудови двоїстої задачі:

1. В цій задачі двоїстих змінних , кожна з яких відповідає

одному з обмежень прямої задачі, та обмежень, кожне з яких пов’язано з однією із змінних, прямої задачі.

2. Цільові функції пари двоїстих задач мають різні напрями оптимізації.

3. Коефіцієнти цільової функції прямої задачі (вектор) та вектор правої частини обмежень () прямої задачі в двоїстій задачі міняються місцями.

4. Рядки коефіцієнтів лівої частини системи обмежень прямої задачі стають стовпцями в двоїстій, а стовпці – рядками. Тобто, якщо коефіцієнти лівої частини обмежень прямої задачі складають матрицю , то двоїстої – матрицю транспоновану.

5. Якщо двоїста змінна відповідає обмеженню прямої задачі, яке має знак “”, тоді. Якщо обмеження виду “=”, тоді вільного знаку.

6. Якщо обмеження двоїстої задачі відповідає змінній прямої задачі, яка має бути невід’ємною, тоді це обмеження має знак “”. Якщо вільного знаку, тоді відповідне обмеження двоїстої задачі буде “=”.

Якщо в прямій задачі , тобто всі обмеження мають знак “”, тоді в двоїстій задачі всі змінні будуть невід’ємні.. Якщо в прямій задачі , тоді в двоїстій задачі всі обмеження будуть “”.