![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Физический смысл первой производной
- •2. Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
- •Механический смысл второй производной.
- •Вопросы для самопроверки
- •Геометрический смысл производной
- •1. Понятие касательной и нормали к кривой
- •Геометрический смысл производной
- •Решение задач
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4. Вычислить значения функции в точках экстремума и.
- •5. При необходимости построить схематически график.
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Задания для самостоятельного решения
- •На монотонность и экстремумы
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте признак (прямой и обратный) возрастания функции.
Сформулируйте признак (прямой и обратный) убывания функции.
Как связаны монотонность функции и угол наклона касательной к графику этой функции?
Какие точки называются критическими для функции?
Сформулируйте правило исследования функции на монотонность.
Упражнения
Исследовать функции на монотонность:
2.
3.
4.
5.
; 6.
Урок № 13
Тема урока: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ ПО ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
Определение точек экстремума.
Рассмотрим график функции
, изображённый на рисунке.
Рис.1
В точках
функция переходит от возрастания к убыванию и в этих точках функция
принимает наибольшие значения по сравнению с рядом лежащими точками.
В точках
функция переходит от убывания к возрастанию и в этих точках функция
принимает наименьшие значения по сравнению с рядом лежащими точками.
Вот такие точки функции и называются точками максимума и минимума.
Определение 1. Точка
называетсяточкой максимума функции
, если для всех
взятых из некоторой окрестности точки
, выполняется условие
Определение 2. Точка
называетсяточкой минимума функции
, если для всех
взятых из некоторой окрестности точки
, выполняется условие
Значения функции
в точках максимума и минимума называются соответственно максимумом и минимумом функции.
Максимум и минимум функции объединяют названием экстремумы функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума (или экстремальными точками).
Рис. 2
Надо отметить, что максимум функции не всегда является наибольшим значением во всей области определения функции, он является наибольшим лишь по сравнению со значениями функции, взятыми в некоторой окрестности этой точки.
Признаки существования точек экстремума.
В точках экстремума функция должна переходить от возрастания к убыванию или от убывания к возрастанию. А это значит, что производная при переходе через эту точку должна поменять свой знак. Это возможно только при переходе производной через ноль или через точку, в которой производная не существует.
Вывод: если
или
не существует, то функция в точке
может иметь экстремум.
Это условие, являясь необходимым, не является достаточным. Например, для функции
точка
не является точкой экстремума, хотя производная
в этой точке
Почему? Потому что производная при переходе через эту точку должна поменять свой знак, а у нас функция остаётся возрастающей.
Рис. 3
Итак, получаем теорему, в которой сформулированы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума.
Теорема 5. Чтобы точка
, была точкой экстремума функции
, необходимо и достаточно, чтобы
а)
или
не существовала,
б) при переходе через точку
производная
должна менять свой знак.
Эта теорема даёт правило нахождения точек экстремума.
Правило исследования функции на экстремум.
Найти производную функции
.
Найти критические точки функции, т.е. значения аргумента
, при которых производная
или
не существует.
Определить знак производной
, в окрестности критических точек