Геометрический смысл производной

1. Понятие касательной и нормали к кривой

Мы знаем аналитический и физический смысл производной:

аналитический смысл – это , физический – это скорость процесса, заданного функцией. Выясним геометрический смысл производной.

Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.

Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. Касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку.

Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы осиимеют по одной общей точке с параболой. Однако осьявляется касательной к параболе, а ось– нет.

M₁ Дадим общее определение касательной к

M₂ кривой в данной точке.

М₃ Пусть – некоторые точки произвольной кривой– секущая кривой.

К При приближении точки по кривой секущаябудет поворачиваться вокруг точки, занимая положения,

Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точкипо кривой называетсякасательной к кривой в точке

Определение. Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Если – касательная к кривойв точке,

то перпендикулярнаябудет нормалью к кривойв точке

Геометрический смысл производной

Пусть кривая является графиком функции. Точки

лежат на графике функции. Прямая - секущая кривой.– касательная к кривой.

- угол наклона касательной

0

Производная функции в точкеравна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точкеили угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к кривой в точкеимеет вид

Уравнение нормали к кривой в точкеимеет вид

Решение задач

П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках.

Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной .

Найдём производную функции: .

1. Найдём значение производной в точке

. Следовательно, .

2. Найдём значение производной в точке

. Следовательно, .

П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точкахНайдите углы наклона касательных к оси Ох.

Решение. По формуле (1)

Найдём ..

1. Вычислим значение производной в точке :.

Следовательно, и.

2. Аналогично в точке .

Следовательно, и

П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох

под углом

Решение. По формуле (1)

; . Следовательно,и

Подставив в функцию, получим. Получили точку.

П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке

Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид .

Из условия задачи . Найдём производную.

; .

Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной

или .

Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой :

или