Б2.В.ОД.7 Дискретная математика
.pdf
Рабочая программа дисциплины составлена в 2011 году в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 230100 «Информатика и вычислительная техника» (квалификация (степень) «бакалавр») от 09.11.2009 г. № 553.
Пересмотрена в 2012 году на заседании методической комиссии факультета информационных технологий от 25.05.2012 № 48.
Пересмотрена в 2013 году на заседании методической комиссии факультета информационных технологий от 24.06.2013 № 53.
Изменена, дополнена и утверждена в 2014 году в соответствии с требованиями Порядка организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным программам высшего образования – программам бакалавриата, программам специалитета, программам магистратуры (приказ Минобрнауки России от 19.12.2013 г. № 1367).
Разработчик: Пережогин Алексей Львович, к.ф.-м.н., кафедра дискретного анализа и исследования операций
Рабочая программа дисциплины одобрена на заседании Методической комиссии факультета информационных технологий от 03.02.2014 года, протокол № 55.
2
Аннотация рабочей программы дисциплины
Дисциплина Дискретная математика входит в вариативную часть математического и естественнонаучного цикла образовательной программы бакалавриата по направлению подготовки 230100 «Информатика и вычислительная техника».
Дисциплина реализуется на факультете информационных технологий НГУ кафедрой дискретного анализа и исследования операций.
Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с такими разделами дискретной математикой, как комбинаторика, теория графов, теория дискретных функций и теория автоматов.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных ОК-1, ОК-6, ОК10, ОК-11 профессиональных ПК-4, ПК-5 компетенций выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает проведение следующих видов учебных занятий: лекции, практические занятия.
Рабочая программа дисциплины предусматривает проведение следующих видов контроля: текущий контроль успеваемости в форме контрольных работ и коллоквиумов и промежуточный контроль в форме экзамена.
Объем дисциплины 5 зачетных единиц, в том числе в академических часах по видам учебных занятий:
|
|
|
учебные занятия |
|
|
|
форма |
||
Сем |
Общий |
|
|
в том числе |
|
|
|
промежуточ |
|
естр |
объем |
|
контактная работа обучающихся с |
СРС |
ной |
||||
|
|
|
преподавателем |
|
|
|
аттестации |
||
|
|
Всего |
|
|
из них |
|
|
|
(зачет, |
|
|
|
Лекции |
Лабор |
Практи |
КСР |
Конс |
|
дифференци |
|
|
|
|
ные |
ческие |
|
ульта |
|
рованный |
|
|
|
|
занят |
занятия |
|
ции |
|
зачет, |
|
|
|
|
ия |
|
|
|
|
экзамен) |
3 |
180 |
129 |
64 |
|
64 |
1 |
|
51 |
экзамен |
3
1. Цели освоения дисциплины
Дисциплина «Дискретная Математика» разработана в соответствии со следующими общими целями основной образовательной программы бакалавриата: подготовка в области основ гуманитарных, социальных, экономических, математических и естественнонаучных знаний, получение высшего профессионального образования, позволяющего выпускнику успешно проводить ориентированные на производство разработки и научные исследования.
Главная цель курса «Дискретная математика» – обучение студентов методам решения задач, характерных для дискретной математики, и соответствующему мышлению.
Основные задачи курса:
дать студентам необходимый запас базовых знаний по основным разделам дискретной математики, обучить рациональному и эффективному использованию полученных знаний при решении типовых задач по дискретной математике;
сформировать у студентов представление о дискретной математике как о способе изучения широкого круга объектов и процессов, характеризующихся отсутствием свойств непрерывности;
дать представление о математическом моделировании с помощью дискретных устройств информационных и вычислительных процессов и процессов управления;
сформировать знания, умения и навыки использования основных понятий комбинаторики, теории алгоритмов, теории графов, теории дискретных функций, теории сложности.
2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина "Дискретная математика" относится к вариативной части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы бакалавриата по направлению «Информатика и вычислительная техника».
Для успешного изучения дискретной математики необходимы знания и умения в объеме школьной программы по математике, общие понятия и факты из математического анализа, алгебры, математической логики.
Освоение дискретной математики необходимо для эффективного использования возможностей современной вычислительной техники, изучения теории вероятности, программирования, а также семейства дисциплин, относящихся к математической кибернетике: теория кодирования, методы оптимизации, теории принятия решений, комбинаторные алгоритмы и др. Знание основ дискретной математики необходимо практически в любой современной научно-исследовательской работе.
4
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (перечень планируемых результатов обучения)
|
В результате освоения данной дисциплины обучающийся |
|||||||||||
демонстрирует |
следующие |
общекультурные |
и |
профессиональные |
||||||||
компетенции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Код компетенции |
Формулировка компетенции |
из |
Планируемые |
|
результаты |
обучения |
||||||
ФГОС |
|
|
|
|
|
|
(показатели достижения заданного уровня |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
освоения компетенций) |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
ОК-1 |
владеет |
культурой |
мышления, |
Иметь представление о дискретной математике как о |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
способен к обобщению, анализу, |
способе изучения широкого круга объектов и |
||||||||||
|
восприятию |
информации, постановке |
процессов, |
характеризующихся |
отсутствием |
|||||||
|
цели и выбору путей ее достижения |
|
непрерывности. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ОК-6 |
стремится |
|
к |
|
саморазвитию, |
Знать основы комбинаторики, теории графов, теории |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
повышению |
своей |
квалификации |
и |
управляющих систем и теории формальных языков. |
|||||||
|
мастерства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ОК-10 |
использует |
|
основные |
законы |
Владеть навыками математического моделирования с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
естественнонаучных |
|
дисциплин |
в |
помощью дискретных устройств информационных и |
|||||||
|
профессиональной |
|
деятельности, |
вычислительных процессов и процессов управления. |
||||||||
|
применяет |
методы |
математического |
|
|
|
|
|
||||
|
анализа |
|
и |
моделирования, |
|
|
|
|
|
|||
|
теоретического и экспериментального |
|
|
|
|
|
||||||
|
исследования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ОК-11 |
осознает |
сущность |
и |
значение |
Владеть основными методами работы с дискретной |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информации в развитии современного |
информацией и уметь их применять в |
||||||||||
|
общества; |
|
владеет |
основными |
профессиональной деятельности. |
|
||||||
|
методами, способами и средствами |
|
|
|
|
|
||||||
|
получения, хранения, переработки |
|
|
|
|
|
||||||
|
информации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПК-4 |
разрабатывать |
модели |
компонентов |
Уметь оценить возможности использования и уметь |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
информационных |
систем, |
включая |
применить методы комбинаторики, теории графов, |
||||||||
|
модели баз данных |
|
|
|
|
теории дискретных функций для решения конкретных |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
прикладных задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ПК-5 |
разрабатывать |
|
|
компоненты |
Уметь оценить возможности использования и уметь |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
программных |
комплексов |
и |
баз |
применить методы комбинаторики, теории графов, |
|||||||
|
данных, использовать |
современные |
теории дискретных функций для решения конкретных |
|||||||||
|
инструментальные |
|
средства |
и |
прикладных задач. |
|
|
|
||||
|
технологии программирования |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
4. Объем, структура и содержание дисциплины
4.1.Объем дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 академических часов.
4.2.Структура дисциплины
|
|
|
|
Контактная работа обучающихся |
|
Формы |
|||||
|
|
|
семестраНеделя(из учебного плана) |
|
с преподавателем по видам |
|
|||||
|
|
|
|
|
текущего |
||||||
|
|
|
учебных занятий (из учебного |
работаСамостоятельнаяобучающихся планаучебногоиз(, в часах) |
|||||||
|
|
из(Семестручебного плана) |
контроля |
||||||||
|
|
лекции |
|
Лабораторные занятия |
Практические занятия |
Контроль самостоятель работыной )КСР( Консультации |
|||||
|
|
|
|
|
|
плана, в часах) |
|
успеваемос |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(по неделям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
семестра) |
№ |
Раздел (тема) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п/п |
дисциплины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
промежуто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аттестации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
семестрам, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из учебного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плана) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Комбинаторика |
3 |
1-3 |
12 |
|
|
12 |
|
|
3 |
контрольна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я работа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коллоквиу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
2 |
Теория графов |
3 |
4-9 |
24 |
|
|
24 |
|
|
6 |
контрольна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я работа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коллоквиу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
3 |
Дискретные |
3 |
10- |
28 |
|
|
28 |
|
|
6 |
контрольна |
|
функции, схемы, |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
я работа, |
|
автоматы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коллоквиу |
|
формальные языки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
Допуск к экзамену |
3 |
17 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Промежуточная |
3 |
19- |
|
|
|
|
|
|
36 |
экзамен |
|
аттестация |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИТОГО часов: |
|
|
64 |
|
|
64 |
1 |
|
51 |
|
4.3. Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам)
Лекции – 64часа (из учебного плана)
|
занятия |
|
Кол-во часов |
||
|
|
|
|
||
Раздел |
|
|
В |
||
Содержание занятий и ссылки на рекомендуемую |
|
интера |
|||
(тема), Код |
|
||||
литературу |
всего |
ктивно |
|||
компетенции |
|||||
№ |
|
|
й |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
форме |
|
Комбинатори |
|
Основные комбинаторные правила и формулы. |
|
|
|
ка |
1 |
Формула включений исключений, ее применения. |
4 |
|
|
(ОК-1, ОК- |
|
Числа Стирлинга. |
|
|
|
6, ОК-10, |
|
Разбиения чисел. Числа Каталана и числа |
|
|
|
ОК-11, ПК- |
2 |
Фибоначчи. Общие рекуррентные соотношения. |
4 |
|
|
Сложность алгоритмов. Варианты определения |
|
||||
4, ПК-5) |
|
|
|
||
|
сложности. |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
Производящая функция, экспоненциальная |
|
|
|
|
3 |
производящая функция. Общее решение линейного |
4 |
|
|
|
|
рекуррентного соотношения |
|
|
|
Теория |
|
Графы, их представления, изоморфизм графов, |
|
|
|
графов |
4 |
операции над графами, оценки числа ребер графа. |
4 |
|
|
(ОК-1, ОК- |
Характеризация деревьев, остовное дерево, |
|
|||
|
|
|
|||
6, ОК-10, |
|
алгоритмы отыскания остова минимального веса |
|
|
|
|
Теорема Кирхгофа, Теорема Кэли, код Прюфера. |
|
|
||
ОК-11, ПК- |
|
|
|
||
5 |
Вершинная и рёберная связности. Характеризация |
4 |
|
||
4, ПК-5) |
|
||||
|
двусвязных графов. Теорема Менгера. |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
Независимость и покрытия Теорема Рамсея. |
|
|
|
|
6 |
Паросочетания в двудольных графах. Теоремы |
4 |
|
|
|
|
Кёнига и Холла. |
|
|
|
|
|
Чередующиеся цепи. Алгоритм построения |
|
|
|
|
7 |
наибольшего паросочетания в двудольном графе. |
4 |
|
|
|
|
Эйлеровость, теорема Эйлера, алгоритм Флёри. |
|
|
|
|
|
Гамильтоновость, теоремы Хватала, Оре, Дирака. |
|
|
|
|
8 |
Укладки графов. Формула Эйлера. Алгоритм укладки |
4 |
|
|
|
|
графа на плоскость. |
|
|
|
|
|
Правильные раскраски вершин. Теоремы Зыкова и |
|
|
|
|
9 |
Брукса. Правильные раскраски планарных графов. |
4 |
|
|
|
Теорема Хивуда. Раскраски ребер. Теорема Кёнига, |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
теорема Визинга. |
|
|
|
Дискретные |
|
Булевы функции, основные представления булевых |
|
|
|
функции, |
10 |
функций. Принцип двойственности. Теорема |
4 |
|
|
схемы, |
|
Жегалкина. Теорема Поста |
|
|
|
автоматы, |
|
Минимизация ДНФ. Способы построения |
|
|
|
формальные |
11 |
сокращенной ДНФ. Способы построения тупиковых |
4 |
|
|
языки (ОК- |
ДНФ. Теорема Журавлева. ДНФ Квайна. Алгоритм |
|
|||
|
|
|
|||
1, ОК-6, |
|
Квайна. ДНФ пересечения. |
|
|
|
12 |
Классы P и NP. Полиномиальная сводимость. NP- |
|
|
||
ОК-10, ОК- |
4 |
|
|||
|
полные и NP-трудные задачи. Теорема Кука |
|
|||
11, ПК-4, |
|
|
|
||
13 |
Схемы из функциональных элементов. Функция |
|
|
||
ПК-5) |
|
|
|||
|
Шеннона. Метод Шеннона. Метод Лупанова. |
4 |
|
||
|
|
Мощностной метод получения нижней оценки |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
функции Шеннона. |
|
|
|
|
14 |
Ограниченно-детерминированные функции, способы |
|
|
|
|
их задания. Конечный детерминированный автомат с |
|
|
|
|
выходом. Лемма о периодической функции. Схемы |
4 |
|
|
|
из автоматных элементов с использованием операции |
|
|
|
|
обратной связи. |
|
|
|
15 |
Конечные автоматы Мили и Мура, их |
|
|
|
|
эквивалентность. Конечный детерминированный |
|
|
|
|
инициальный автомат без выходов. Теорема о |
4 |
|
|
|
детерминизации. Регулярные языки. Теоремы |
|
|
|
|
анализа и синтеза автоматов. |
|
|
|
16 |
Контекстно-свободные грамматики. |
4 |
|
|
|
Магазинные автоматы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого: |
64 |
|
Практические (семинарские) занятия – 64 часа (из учебного плана)
|
занятия |
|
Кол-во часов |
||
|
|
|
|
||
Раздел |
|
|
В |
||
Содержание занятий и ссылки на рекомендуемую |
|
интера |
|||
(тема), Код |
|
||||
литературу |
всего |
ктивно |
|||
компетенции |
|||||
№ |
|
|
й |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
форме |
|
Комбинатори |
|
Основные комбинаторные правила и формулы. |
|
|
|
ка |
1 |
Формула включений исключений, ее применения. |
4 |
|
|
(ОК-1, ОК- |
|
Числа Стирлинга. |
|
|
|
6, ОК-10, |
|
Разбиения чисел. Числа Каталана и числа |
|
|
|
ОК-11, ПК- |
2 |
Фибоначчи. Общие рекуррентные соотношения. |
4 |
|
|
Сложность алгоритмов. Варианты определения |
|
||||
4, ПК-5) |
|
|
|
||
|
сложности. |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
Производящая функция, экспоненциальная |
|
|
|
|
3 |
производящая функция. Общее решение линейного |
4 |
|
|
|
|
рекуррентного соотношения |
|
|
|
Теория |
|
Графы, их представления, изоморфизм графов, |
|
|
|
графов |
4 |
операции над графами, оценки числа ребер графа. |
4 |
|
|
(ОК-1, ОК- |
Характеризация деревьев, остовное дерево, |
|
|||
|
|
|
|||
6, ОК-10, |
|
алгоритмы отыскания остова минимального веса |
|
|
|
|
Теорема Кирхгофа, Теорема Кэли, код Прюфера. |
|
|
||
ОК-11, ПК- |
|
|
|
||
5 |
Вершинная и рёберная связности. Характеризация |
4 |
|
||
4, ПК-5) |
|
||||
|
двусвязных графов. Теорема Менгера. |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
Независимость и покрытия Теорема Рамсея. |
|
|
|
|
6 |
Паросочетания в двудольных графах. Теоремы |
4 |
|
|
|
|
Кёнига и Холла. |
|
|
|
|
|
Чередующиеся цепи. Алгоритм построения |
|
|
|
|
7 |
наибольшего паросочетания в двудольном графе. |
4 |
|
|
|
|
Эйлеровость, теорема Эйлера, алгоритм Флёри. |
|
|
|
|
|
Гамильтоновость, теоремы Хватала, Оре, Дирака. |
|
|
|
|
8 |
Укладки графов. Формула Эйлера. Алгоритм укладки |
4 |
|
|
|
|
графа на плоскость. |
|
|
|
|
|
Правильные раскраски вершин. Теоремы Зыкова и |
|
|
|
|
9 |
Брукса. Правильные раскраски планарных графов. |
4 |
|
|
|
Теорема Хивуда. Раскраски ребер. Теорема Кёнига, |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
теорема Визинга. |
|
|
|
8
Дискретные |
|
Булевы функции, основные представления булевых |
|
|
функции, |
10 |
функций. Принцип двойственности. Теорема |
4 |
|
схемы, |
|
Жегалкина. Теорема Поста |
|
|
автоматы, |
|
Минимизация ДНФ. Способы построения |
|
|
формальные |
11 |
сокращенной ДНФ. Способы построения тупиковых |
4 |
|
языки (ОК- |
ДНФ. Теорема Журавлева. ДНФ Квайна. Алгоритм |
|
||
|
|
|
||
1, ОК-6, |
|
Квайна. ДНФ пересечения. |
|
|
12 |
Классы P и NP. Полиномиальная сводимость. NP- |
|
|
|
ОК-10, ОК- |
4 |
|
||
|
полные и NP-трудные задачи. Теорема Кука |
|
||
11, ПК-4, |
|
|
|
|
13 |
Схемы из функциональных элементов. Функция |
|
|
|
ПК-5) |
|
|
||
|
Шеннона. Метод Шеннона. Метод Лупанова. |
4 |
|
|
|
|
Мощностной метод получения нижней оценки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции Шеннона. |
|
|
|
14 |
Ограниченно-детерминированные функции, способы |
|
|
|
|
их задания. Конечный детерминированный автомат с |
|
|
|
|
выходом. Лемма о периодической функции. Схемы |
4 |
|
|
|
из автоматных элементов с использованием операции |
|
|
|
|
обратной связи. |
|
|
|
15 |
Конечные автоматы Мили и Мура, их |
|
|
|
|
эквивалентность. Конечный детерминированный |
|
|
|
|
инициальный автомат без выходов. Теорема о |
4 |
|
|
|
детерминизации. Регулярные языки. Теоремы |
|
|
|
|
анализа и синтеза автоматов. |
|
|
|
16 |
Контекстно-свободные грамматики. |
4 |
|
|
|
Магазинные автоматы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого: |
64 |
|
Самостоятельная работа – 15 часов (из учебного плана)
Самостоятельная работа студента в первую очередь состоит в решении задач домашних работ, изучении основной и дополнительной литературы по темам лекций и практических занятий, подготовка к коллоквиумам и контрольным работам.
Большую роль в освоении материала играют домашние работы. В них наряду с задачами на отработку методов, изученных на практических занятиях, обязательно даются задачи более сложного уровня, заставляющие студентов обращаться к дополнительной литературе. Решение таких задач является обязательным для студентов, претендующих на отметки хорошо и отлично.
|
№ занятия |
Вид работы |
Норма |
Раздел (тема), |
|
времени на |
|
|
|
||
Код |
|
выполнение |
|
|
|
||
компетенции |
|
(в часах) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комбинаторика |
1-3 |
подготовка к практическим занятиям |
3 |
(ОК-1, ОК-6, |
|
|
|
ОК-10, ОК-11, |
|
|
|
ПК-4, ПК-5) |
|
|
|
Теория графов |
4-9 |
подготовка к практическим занятиям |
6 |
(ОК-1, ОК-6, |
|
|
|
ОК-10, ОК-11, |
|
|
|
ПК-4, ПК-5) |
|
|
|
Дискретные |
10- |
подготовка к практическим занятиям |
6 |
функции, |
16 |
|
|
схемы, |
|
|
|
9
автоматы, формальные языки (ОК-1,
ОК-6, ОК-10,
ОК-11, ПК-4,
ПК-5)
подготовка к экзамену |
36 |
5. Образовательные технологии
Лекции.
Лекционный курс разбит на три основных раздела. Основу курса составляет систематический обзор основных понятий и методов дискретной математики.
Структура курса выглядит следующим образом: Комбинаторика: 6 лекций; Теория графов: 12 лекций;
Дискретные функции, схемы, автоматы, формальные языки: 14 лекций. Аннотированное содержание каждого раздела приведено в разделе 4.
При изучении теоретического материала рекомендуется строго придерживаться календарного плана. В ходе лекций студенту рекомендуется самостоятельно воспроизводить ее содержание в виде конспекта. После каждой лекции рекомендуется самостоятельно изучить дополнительную литературу по теме лекции.
Практические занятия.
Логическим продолжением курса лекций являются практические занятия. На них студенты применяют знания, полученные на лекциях, к решению конкретных задач. Задания на практических занятиях подобраны таким образом, чтобы студенты научились пользоваться всеми основными методами изучаемых разделов дискретной математики.
Практические занятия проводятся в аудиториях без компьютеров, два раза в неделю, всего 32 семинарских занятия. На занятиях студенты получают навыки решения перечислительных задач, применения методов теории графов, знакомятся с основными понятиями и способами реализации булевых функций. После каждого занятия студентам выдается домашнее задание. Рекомендуется перед выполнением домашнего задания тщательно изучить соответствующий лекционный материал.
6. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине
Методические рекомендации по самостоятельной работе обучающихся приводятся в приложении к рабочей программе дисциплины (Приложение А)
7. Фонд оценочных средств для проведения текущей и промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине
7.1. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования приведен в описании образовательной программы
10