Шаговый принцип

За отказ от полного перебора состояний надо чем-то платить. Цена – это предположения, которые мы дол­жны сделать относительно свойств неизвестной нам модели до начала эксперимента.

Главное предположение – это непрерывность поверх­ности, ее гладкость и наличие единственного оптимума (быть может, и на границе области определения факторов).

Эти постулаты позволяют представить изучаемую функ­цию в виде степенного ряда в окрестности любой возмож­ной точки факторного пространства (такие функции в математике называются аналитическими). Кроме того, если мы придумаем какой-то способ постепенного прибли­жения к оптимальной точке, нужно, чтобы результат не зависел от исходной точки.

Так как мы заранее считаем, что предпосылки выпол­няются, то надо максимально использовать возможности, которые при этом открываются.

Если, например, мы будем знать значения параметра оптимизации в нескольких соседних точках факторного пространства, мы сможем (в силу гладкости и непрерыв­ности функции отклика) представить себе результаты, ко­торые можно ожидать в других соседних точках. Следо­вательно, можно найти такие точки, для которых ожида­ется наибольшее увеличение (или уменьшение, если мы ищем минимум) параметра оптимизации. Тогда ясно, что следующий эксперимент надо переносить именно в эти точки. Надо продвигаться в этом направлении, пренебрегая остальными. Сделав новый эксперимент, снова можно оценить направление, в котором следует двигаться. В силу единственности оптимума мы, таким образом, рано или поздно непременно его достигнем. Это и есть шаговый принцип.

Сделаем некоторые пояснения. Мы выбираем в фактор­ном пространстве какую-то точку и рассматриваем множест­во точек в ее окрестности, т. е. выбираем в области опре­деления факторов малую подобласть. Здесь мы хотим провести эксперимент, на основании которого должна быть построена первая модель. Эту модель мы намерены использовать для предсказания результатов опытов в тех точках, которые не входили в эксперимент. Если эти точки лежат внутри нашей подобласти, то такое предсказание называется интерполяцией, а если вне – экстра­поляцией. Чем дальше от области эксперимента лежит точка, для которой мы хотим предсказать результат, теме меньшей уверенностью это можно делать. Поэтому мы вы­нуждены экстраполировать недалеко и использовать ре­зультаты экстраполяции для выбора условий проведения следующего эксперимента. Дальше цикл повторяется.

Попутно полученную модель можно использовать для проверки различных гипотез о механизме изучаемого яв­ления или о его отдельных сторонах. Например, если вы предполагаете, что увеличение значения некоторого фак­тора должно приводить к увеличению значения параметра оптимизации, то с помощью модели можно узнать, так ли это. Такая проверка называется интерпретацией мидели.

Как выбрать модель?

Исходя из выбранной стратегии, ясно, что главное требование к модели – это способность предсказывать направление дальнейших опытов, причем предсказывать с требуемой точностью. Так как до получения модели мы не знаем, какое направление нам понадобится, то естест­венно требовать, чтобы точность предсказания во всех возможных направлениях была одинакова.

Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше чем на некоторую заранее задан­ную величину. Модель, которая удовлетворяет такому или какому-либо аналогичному требованию, называется адек­ватной. Проверка выполнимости этого требования называется проверкой адекватности модели. Методы, с помощью которых проверяется адекватность, рассматриваются далее.

Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой простой.

На будущее мы договоримся, что при прочих равных условиях мы всегда будем предпочитать степен­ные ряды. Точнее, отрезки степенных рядов – алгебраи­ческие полиномы.

Фактически мы произвели выбор класса моделей. Мы сказали, что всегда, когда это возможно, будем искать модель среди полиномов. Построение полинома возможно в окрестностях любой точки факторного пространства, по­скольку мы предположили, что функция является аналитической.