Нормирование переменных модели

В процессе эксперимента осуществляются различные комбинации уровней факторов. Эти факторы, как правило, имеют различную физическую природу и размерность. Для упрощения записи и обработки результатов уровни факторов нормируются.

Середине области определения выходной переменной объекта соответствует некоторая комбинация уровней факторов. Эти уровни факторов принимаются как основные (исходные, нулевые, начальные).

Построение плана эксперимента сводится к выбору интервала варьирования факторами , то есть к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно основного уровня.

Чаще всего эксперименты проводятся только на двух уровнях факторов. Такие эксперименты называются экспериментами типа . При таком эксперименте уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному фактору . Тогда для любого фактора имеем

; 

. 

Точка с координатами называется центром плана (основным уровнем); — интервал варьирования по оси . Величина своя для каждого фактора. Прибавление к основному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фактора.

От системы координат перейдем к новой безразмерной системе координат путем следующего линейного преобразования координат

, 

где  — нормированное значение j- го фактора;

—натуральное значение j- го фактора ;

—натуральное значение основного уровня.

В нормированном виде для всех факторов верхний уровень равен +1, нижний уровень равен , координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат.

Нормирование переменных существенно упрощает планирование эксперимента, обработку его результатов, построение модели объекта с безразмерными переменными, упрощение модели и проверку ее адекватности. После построения модели с нормированными факторами и оценки ее адекватности от этой модели переходят к модели с натуральными факторами , используя нормирующие соотношения

Выбор модели

Под моделью мы понимаем функцию отклика

Выбрать модель ­­– значит выбрать вид этой функции, записать ее уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения.

Построим геометрический аналог функции отклика – поверхность отклика. Будем для наглядности рассматривать случай с двумя факторами.

Заметим, что в случае многих факторов геометричес­кая наглядность теряется. Мы попадаем в абстрактное многомерное пространство, где у нас нет навыка ориен­тирования. Приходится переходить на язык алгебры.

Мы хотим изобразить геометрически возможные состоя­ния «черного ящика» с двумя входами. Для этого доста­точно располагать плоскостью с обычной Декартовой системой координат. По одной оси координат будем откла­дывать в некотором масштабе значения (уровни) одного фактора, а по другой оси – второго. Тогда каждому состо­янию «ящика» будет соответствовать точка на плоскости.

Для фак­торов существуют области определения. Это значит, что у каждого фактора есть минимальное и максимальное возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы сов­местимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, внутри которого лежат точки, соответ­ствующие состояниям «черного ящика». Пунктир­ными линиями на рисунке обозначены границы областей определения каждою из факторов, а сплошными – гра­ницы их совместной области определения.

Чтобы указать значение параметра оптимизации, тре­буется еще одна ось координат. Про­странство, в котором строится поверхность отклика, мы будем называть факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются зна­чения факторов и параметра оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При многих факторах поверхность отклика уже нельзя изоб­разить наглядно и приходится ограничиваться только алгебраическим языком.

Но для двух факторов можно даже не переходить к трехмерному пространству, а ограничиться плоскостью.

Для этого достаточно произвести сечение поверхности отклика плоскостями, параллельными плоскости X₁OX₂ и полученные в сечениях линии спроектировать на эту плоскость.

Каждая линия соответствует постоянному зна­чению параметра оптимизации. Такая линия называется линией равного отклика.