Теория матана
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»
___________________________________________________________
Кафедра «Высшая математика»
Бодунов М.А., Бородина С.И., Показеев В.В., Теуш Б.Л., Ткаченко О.И..
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1.
Предел числовой последовательности.
Предел функции. Непрерывность функции.
Основные положения теории,
методические указания
Москва 2011
Приведены краткие теоретические сведения по теории пределов и дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных. Изложение материала сопровождается подробным разбором решений типовых задач. Для самостоятельного решения приведены варианты расчетнографических работ. Методические указания предназначены для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения.
Авторы выражают благодарность сотрудникам каф. «Высшая математика» МГТУ «МАМИ» – доц. Н. Н. Пустовойтову, доц. Б.Ю. Кудрявцеву, доц. Л.К. Кийко, за полезные замечания при подготовке настоящего издания.
1. Числовая последовательность и ее предел
Определение 1. Пусть каждому натуральному числу n (т.е. n 1,2,3,...) по некоторому закону поставле-
но в соответствие действительное число an . Тогда говорят, что задана числовая последовательность: a1,a2,...,an,..., обозначаемая an . Числа a1,a2,...,an,..., называются членами последовательности: a1 –
первым членом последовательности, a2 – вторым, an – n-м или общим членом последовательности.
Последовательность может быть задана с помощью формулы вида an f n , выражающей n-й член
последовательности через его номер n, например an 2n , an sinn . Такую формулу называют форму-
лой общего члена последовательности.
Пример 1. Написать первые четыре члена последовательности an , если: an 1 n . n
Решение. Последовательность задана формулой ее общего члена, чтобы получить член последователь-
ности с конкретным номером, надо подставить его в формулу вместо произвольного номера n. Получим
a |
1 1 |
1; a |
|
|
1 2 |
|
1 |
; a |
1 3 |
|
1 |
; a |
1 4 |
|
1 |
. |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
Пример 2. Зная несколько первых членов последовательности an , написать формулу ее общего члена.
2; 5; 10; 17; 26 .
38 13 18 23
Решение. Числитель каждого из заданных членов последовательности равен квадрату номера этого чле-
на плюс 1, т.е. n2 1. Знаменатели же образуют арифметическую прогрессию 3, 8, 13, 18, …с первым
членом 3 и разностью 5, следовательно, знаменатель n-й дроби будет 3 5 n 1 5n 2. Поэтому
a |
|
|
n2 1 |
|
n |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
5n 2 |
||
|
|
|
|
2. Предел последовательности |
Определение 2. Число A называется пределом последовательности an , если для любого положитель-
ного числа можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящий от , что для всех членов последовательности с номерами n N будет выполнено неравенство an A .
2
Если an имеет своим пределом число A, то говорят, что an сходится (или стремится) к A и
обозначают это так:
liman A, или an A. Если последовательность an не имеет предела, то говорят, что она расходит- |
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
ся. Используя свойства |
модуля, неравенство |
|
an A |
|
|
можно записать так: an |
A |
или |
|
|
|||||||
A an A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервал A ;A называется -окрестностью числа A. |
|
|
||||||
Тогда можно сформулировать понятие предела последовательности следующим образом: |
|
|||||||
Определение 3. Число |
A называется пределом последовательности an , если для |
каждой |
- |
окрестности числа A найдется номер члена последовательности, начиная с которого все члены после-
довательности будут находиться в этой окрестности. Иначе говоря, для любой сколь угодно малой -
окрестности числа |
|
A вне ее находится лишь конечное число членов последовательности (в частности, |
||||||||||||||||||||
вне ее может вообще не быть членов последовательности). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 6. Используя определение предела последовательности, доказать, что lim |
2n2 n 2 |
2. |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n2 3n 1 |
|
|
Решение. |
Зададим |
произвольно |
0 |
и |
рассмотрим |
разность |
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
2n2 n 2 |
|
7n 4 |
|
|
7n 4 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n2 3n 1 |
|
n2 3n 1 |
|
|
n2 3n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Надо подобрать такое натуральное число N , чтобы для всякого |
натурального n N выполнялось нера- |
|||||||||||||||||||||
венство |
|
|
7n 4 |
|
. Решая относительно n это неравенство, |
мы и найдем номер N . Проще, однако, |
||||||||||||||||
|
n2 3n 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
использовать следующее очевидное замечание. Чтобы доказать равенство liman A, мы по произволь- |
|||||
|
|
|
|
|
n |
ному 0 должны указать номер N такой, что неравенство |
|
an A |
|
|
выполняется, как только n N , |
|
|
но при этом вовсе не обязательно находить наименьшее возможное значение этого номера. Мы можем
указать любой номер N , который гарантирует выполнение неравенства |
an A |
|
при n N . Этот |
простой и очевидный факт позволяет решить эту задачу проще. Поскольку 7n 4 7n; n2 3n 1 n2 , то
|
7n 4 |
|
7n |
|
7 |
|
|
. Теперь уже легко завершить доказательство. Возьмем произвольное 0 и решим |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n2 3n 1 |
n2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
неравенство |
7 |
. Отсюда n |
7 |
и в качестве искомого номера |
N возьмем N |
7 |
. Тогда при n N |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
выполняется неравенство |
7 |
, а поскольку |
|
a |
n |
2 |
|
|
7n 4 |
|
7 |
, то при n N будет выполнятся и |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
an 2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n2 3n 1 |
|
n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
неравенство |
|
|
. Это по определению означает, что liman 2. Пусть, например, 0,01. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
N |
|
|
700 |
и все члены последовательности, начиная с номера 701 будут находиться в интервале |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 0,01; |
2 0,01 , т.е. в окрестности точки |
|
A ( 0,01, A 2). |
|
3
n
Пример 7. Доказать, что последовательность an 1 расходится, т.е. не имеет предела.
Решение. Если n четное число, то an 1, если n нечетное число, то an 1. Поэтому в любой окрест-
ности точек 1 и – 1 содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно, числа 1 и
– 1 не могут быть пределами последовательности (исходя из геометрического смысла предела). Из него же следует, что любое число A 1 и A 1 также не может быть пределом данной последовательности так как в силу произвольности числа 0 , фигурирующего в определении, его можно подобрать так,
чтобы интервал A ;A не содержал бы точек 1, а тогда в нем вообще не будет членов последо-
n
вательности, тем более их бесконечного числа. Итак, последовательность an 1 не имеет предела,
n
но, очевидно, ограничена: an 1 1 M , где M – любое число, больше 1.
3.Правила предельного перехода
1)Свойства, выражаемые равенствами.
а) Пусть существует предел последовательности an , равный числу a , и предел последовательности
bn , равный числу b. Тогда существуют конечные пределы последовательностей an bn , an bn ,
|
an |
|
anbn и выполняются равенства: |
|
|||||||||
|
, |
|
|||||||||||
b |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim an |
bn liman limbn a b |
(1) |
||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
|||||
|
|
|
lim an |
bn liman |
limbn a b |
(2) |
|||||||
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
||||||
|
|
|
lim |
an |
|
|
nliman |
|
|
a |
|
bn 0, b 0 |
(3) |
|
|
|
|
limb |
|
b |
|||||||
|
|
|
n b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim an bn ab an 0, a 0 |
(4) |
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Если все члены последовательности an и число a принадлежат области определения непрерывной функции f x , (определение непрерывной функции будет дано ниже), то
lim f an f a |
(5) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
в) Пусть существует предел последовательности an , равный a , тогда |
|
последовательность an k так- |
||||
же имеет предел, равный a : |
|
|
|
|
|
|
liman k a , |
(6) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
здесь k – любое неотрицательное число, в частности, k 1. |
|
|
|
|||
4. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) |
|
|||||
|
последовательности |
|
|
|
||
Определение 4. Последовательность an |
называется бесконечно малой, если liman |
0, т.е. для любого |
||||
|
|
|
|
|
n |
|
0 найдется номер N N такой, |
что при всех n N будет |
|
an |
|
. Иначе, |
в любом интервале |
|
|
4
; находится бесконечно много членов этой последовательности, а вне ее находится лишь конечное
число членов.
Свойства б.м. последовательностей:
1) Сумма, разность и произведение двух б.м. последовательностей является б.м., т.е. если n 0,
n 0, то
n n 0, n n 0 . (8)
2) Произведение ограниченной последовательности на б.м. является б.м., т.е., если существует такое
M 0, что для всех номеров n an M и n 0, то
an n 0. |
(9) |
|
В частности, если c const , то c n 0. |
|
|
Определение 5. Последовательность an |
называется расходящейся к плюс бесконечности (или поло- |
|
жительной бесконечно большой), если для любого числа A 0 найдется номер |
N N A , такой что |
|
при всех n N выполняется неравенство |
an A. Иначе говоря, начиная с номера |
N 1 все члены по- |
следовательности, aN 1,aN 2,..., лежат в интервале A, , а вне его может находиться лишь конечное
число (не более N ) членов последовательности. Такая последовательность называется также стремя-
щейся к , что записывается так: liman |
. Аналогично, определяется liman . |
||||
n |
n |
||||
Определение 6. Последовательность an |
называется бесконечно большой (б.б.), если lim |
|
an |
|
. Ина- |
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
че говоря, для любого числа A 0 найдется номер N N A такой, что все члены последовательности |
с номерами n N находятся вне отрезка |
A;A , а внутри его лежит лишь конечное число членов по- |
||||||
следовательности. При этом пишут: liman |
. |
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
Связь между б.б. и б.м. последовательностями. Пусть n |
– б.м., а n – б.б. последова- |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
тельности, все члены которых отличны от нуля, тогда последовательность |
будет б.б., а последова- |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
тельность |
– б.м. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
5. 2-й замечательный предел
Рассмотрим последовательность |
an |
|
1 |
n |
an 1 an |
и 2 an 3, т.е. |
||
1 |
|
|
. Можно показать, что |
|||||
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
эта последовательность возрастает и ограничена, тогда по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел, обозначаемый e :
|
1 |
n |
e |
(10) |
||
lim 1 |
|
|
||||
n |
||||||
n |
|
|
|
|
||
e – число иррациональное, |
e 2,71828.... |
|
||||
|
|
|
|
|
5 |
Равенство (10) называется вторым замечательным пределом.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно показать, что lim 1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедливы более общие утверждения: |
||||||||||||||
|
|
1 kn |
|
|
|
|
|
|
|
1 kn |
1 |
|
|
||||||||||
lim |
1 |
|
|
|
e; |
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||||||||||||||
n |
|
kn |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
kn |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
lim 1 n |
|
|
e; |
|
|
|
|
|
lim 1 n |
|
|
|
, |
(11) |
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
||
где |
kn и |
n соответственно положительные бесконечно большая и бесконечно малая последова- |
|||||||||||||||||||||
тельности, т.е. limkn , lim n |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Основные способы нахождения пределов
последовательностей.
Нахождение предела последовательности an основывается на свойствах пределов, приведен-
ных выше. При этом необходимо отметить, что правила предельного перехода (1) – (5) применимы в случае конечных пределов последовательностей. В противном случае мы приходим к пределам вида
lim |
k |
0, если n |
; |
lim |
k |
|
, если n 0 и необходимости раскрыть, как говорят, неопреде- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
ленные выражения: |
|
|
, |
|
|
, 0 , , 1 , 0 |
|
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 . При раскрытии неопределенностей используется следующие важные пределы: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim n |
|
|
1 a 0 , |
|
|
lim n |
|
|
1, |
|
lim |
loga n |
=0 0 , |
||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
lim |
an |
|
0 , |
|
|
|
|
|
lim |
n |
|
0 |
|
0, |
|
|
a |
|
1 , |
|
(12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n n! |
|
|
|
|
|
|
n an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а также различные тождественные преобразования, позволяющие перейти от неопределенных выраже-
ний к таким, для которых уже можно применить свойства пределов (1) – (5) и равенства (12).
Раскрытие неопределенностей вида .
Пусть требуется найти lim |
an |
, причем a |
|
и |
b . В этом случае равенство (3) неприме- |
||
|
|
||||||
n b |
|
n |
|
n |
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
нимо, получаем неопределенное выражение |
|
. Следует отметить, что |
– это символ, а не число, |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
поэтому выражение необходимо понимать так, что при безграничном возрастании n числитель и
знаменатель дроби неограниченно возрастают. Основной прием здесь заключается в том, чтобы выде-
лить в числителе и знаменателе главные части. То есть те слагаемые, которые возрастают вместе с n и
6
быстрее остальных слагаемых. Например, пусть an |
|
3n 100. При больших n |
an будет почти равно 3n, |
|||||||||
иначе говоря an так же, как и само 3n. Это обозначается так: an |
3n 100 |
3n. |
||||||||||
|
Для an 0,1n3 150n2 30n 100 |
при n первое слагаемое также будет определять поведе- |
||||||||||
ние всей суммы так как n3 растет быстрее, чем n2 |
и n. Поэтому можно записать: |
|
||||||||||
|
0,1n3 150n2 30n 100 |
0,1n3 при n . |
|
|
|
|||||||
Пример 8. Найти пределы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 5n 10 2 |
2n 1 8 |
|
|
|
|
4 5n4 |
3n3 50 7n sin3 n |
|
|
|
|||||||
1) lim |
|
|
|
|
L ; |
2) lim |
|
|
|
|
L . |
|
|
|
9n 70 |
|
|
10n3 3n 1 2n 1 4 3n 17 4 |
|||||||
n |
1 |
n |
|
2 |
Решение. Идея решения всех этих задач – выделение главной части.
1) |
5n4 3n3 |
50 |
5n4, 4 |
5n4 3n3 |
50 |
|
|
4 5n4 |
|
4 |
5n; 9n 70 9n , |
следовательно, числитель и знамена- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тель возрастают одинаково, |
какn n1. Поэтому выносим за скобки в числителе и знаменателе n и уп- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рощаем дробь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
5n4 |
3n3 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
4 |
3n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
sin |
|
|
|
3 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||
L lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
lim |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
70 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
9 |
70 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поскольку |
3 |
0, |
50 |
0, |
70 |
0 |
и |
|
sin3 n |
1 |
0 |
как произведение бесконечно малой |
|
1 |
|
на ограни- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ченную sin3 n 1 sin3 n 1 , то L1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) Решение примера будет более кратким. А именно: заменим числитель и знаменатель дроби на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
их главные части |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3n2 5n 10 |
|
2 |
9n4 ; 2n 1 8 |
|
|
28 n8; 10n3 |
3n 1 10n3, |
2n 1 4 |
24 n4 , 3n 17 4 |
34 n4 . По- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
этому L lim |
|
3n2 2 2n 8 |
|
lim |
|
9 2 8 |
|
n12 |
lim |
|
9 2 8 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
n 10n3 2n 4 3n 4 |
|
|
n 10 6 4 |
|
|
|
|
|
n 10 6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.При раскрытии неопределенностей в случае, когда в числителе и в знаменателе содержатся сте-
пенные слагаемые, используются свойства степеней и пределы: qn 0, q 1;qn , q 1.
Пример 9. Найти предел L lim |
2 3n 2 3 2n 1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3n 1 7 2n 1 |
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
Предварительно |
|
упростим |
дробь, |
используя |
свойства |
степеней: |
|||||||||||
|
n 2 |
3 2 |
n 1 |
|
2 32 3n |
3 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
. Поскольку 3n 2n , |
вынесем за скобки в числителе и знаменателе 3n : |
|||||||||
|
3n 1 7 2n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
n |
|
|
|
2 |
3 |
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
2 32 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|||||||||||
L lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, поскольку |
|
|
|
0, то L |
|
|
|
54. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
n |
n 1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
В некоторых случаях необходимо применить формулы, |
|
выражающие суммы n первых членов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
арифметической и геометрической прогрессий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Sn |
|
|
a1 |
an |
n |
2a1 d n 1 |
n – для арифметической прогрессии; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
b1 qn |
1 |
– для геометрической прогрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 10. Найти пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 3 5 ... 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
L lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2) L lim |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
2n2 n 1 |
|
|
|
2 |
n |
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
Здесь a1 1, an 2n 1, число членов |
n. Используя формулу для Sn (прогрессия арифметическая), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 2n 1 |
n |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
получим: |
L lim |
2 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2n2 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
n 2n2 n 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2) Используя формулу для S |
n |
(прогрессия геометрическая), получим: L lim |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
1 |
|
1 3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрытие неопределенностей вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 0 |
; 0 ; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Обычно при раскрытии этих неопределенностей используются различные тождественные преоб- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разования, позволяющие свести их к уже известной задаче – раскрытии неопределенностей вида |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или получить задачу, в которой нет неопределенностей. Рассмотрим некоторые типичные примеры.
Пример 11. Найти пределы 1) L lim |
|
n2 2n n |
|
; 2) L lim |
|
3 n3 2n2 |
n |
|
. |
||
1 |
n |
|
3 |
n |
|
|
|
Решение.
Здесь имеем неопределенность вида . При решении этих задач используем формулы сокращен-
ного умножения
8
a b a b a2 b2; a b a2 ab b2 a3 b3 .
|
|
|
|
|
n2 2n |
|
n |
|
|
n2 2n |
n |
|
|
|
n2 2n n2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1) L lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2lim |
|
|
|
|
|
|
|
2lim |
|
1. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n2 2n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n2 2n n |
n |
n2 2n n |
|
|
n n n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
n |
3 |
2n |
2 |
|
3 |
2n |
2 |
|
n |
3 |
n |
3 |
|
2n |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
2n |
2 |
n |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2) L |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
3 n3 2n2 2 |
n3 n3 2n2 n2 |
|
|
|
|
|
n 3 n3 2n2 2 |
n3 n3 2n2 n2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2lim |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
2lim |
n2 |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n 3 |
|
2 n3 |
|
n2 |
|
|
|
n 3n2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n3 |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример 12. Найти предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
L lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Чтобы понять, какая здесь неопределенность, выполним действие в скобках.
|
n |
3 |
n n |
2 |
3n 1 |
|
|
2 |
|
L lim |
|
|
|
|
|
lim |
3n |
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n2 3n 1 |
|
|
|
||||
n |
|
n n2 3n 1 |
|
|
3n2 |
||||
|
|
|
lim |
|
|
3 |
|
n |
2 |
||||
|
|
n |
|
|
Пример 13. Найти предел L lim 2n 1 2n 1 .
n 3 3n2 n 3 3n2 n
Здесь имеем неопределенность вида . Используем формулы сокращенного умножения.
Решение. L lim |
|
|
|
2n 1 |
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 n 2 |
3n2 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3n2 n |
3n2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3n |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3n |
|
n |
|
|
|
3n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
n |
|
|
3n |
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 n 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
3n2 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n 1 2n 1 |
3 |
|
|
|
|
3n2 n |
3n2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 n 3n2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
2n 1 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
3n2 n |
|
|
3 |
3n2 n3 3n2 n |
3 |
3n2 n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
9 n |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2n |
|
|
|
|
2 2n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
9 |
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрытие неопределенностей 1
В этом случае используется 2-й замечательный предел, формулы (9) – (11) и свойство (4).
Пример 14. Найти пределы
|
|
|
n |
2 |
2n 2 |
3n 1 |
|
|
|
n |
3 |
n |
|
1) |
L2 |
lim |
|
|
; |
2) |
L2 |
lim |
2 |
. |
|||
n |
2 |
n |
|
||||||||||
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
n |
2 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
Во всех этих задачах – неопределенность 1 . Для использования 2-го замечательного предела
предварительно выделим целую часть дроби.
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 n 1 |
|
|
n 1 |
|
3n 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
n2 2n 2 |
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n2 n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|||||||||||||||||||||||||
1)L lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
, где |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
n |
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l lim |
n 1 3n 1 |
|
3; L e3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
n2 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2) L |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
n |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l lim |
n 2 |
2lim |
n |
|
0; |
L e0 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n 2n 1 |
|
|
|
n 2n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разные примеры на нахождение пределов числовых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 15. Найти L limarccos |
|
2n 4n4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
8n4 15n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. |
|
Найдем сначала предел аргумента арккосинуса: |
|
|
|
|
|
2n 4n4 |
|
|
|
|
4n4 |
|
1 |
. Теперь ис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
15n3 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 8n4 |
|
|
n 8n4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
пользуем свойство (5): L arccos |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 16. Найти L lim 3 sin2n arcsin n 1 3 . n 4 cos2n n 1
Решение. Здесь используем теорему: произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую есть бесконечно малая. Последовательность |
3 sin2n |
ограничена: т.к. 2 3 sin2n 4, |
|
|||||||||||||||||||||
4 cos2n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 sin2n |
|
4 |
|
|
|
|
arcsin |
|
|
3 |
|
|
||||
3 4 cos2n 5, то |
|
|
|
. Последовательность |
n 1 |
бесконечно малая, |
т.к. ар- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
4 cos2n |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0, следовательно, по свойству |
|
|||||||||||
гумент |
|
арксинуса |
|
бесконечно |
малый: |
|
n 1 |
(2.5) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
arcsin |
|
|
n 1 |
. Поэтому L 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Предел функции в точке. |
|
|
|||||||||||
|
|
Пусть функция |
f x определена в некоторой окрестности точки |
x0 , кроме, может быть, са- |
||||||||||||||||||||
мой точки x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10