Теория матана

Определение (Коши). Число A называется пределом функции

f x в точке x0 , если для любого числа

0 существует число 0 такое, что для всех x , x x0

и удовлетворяющих условию

x x0

,

верно неравенство

f x A

.

Обозначение: lim f x A или

f x A при x x0 .

x x0

Определение (Гейне). Число

A называется пределом функции f x в точке x0 , если для любой по-

следовательности xn значений аргумента xn , xn x0 , сходящейся к точке x0 , соответствующая

x 3

Решение. Надо показать, что, выбрав произвольно 0 , можно по нему подобрать

такое, что

для каждого x, удовлетворяющего условию

x 3

, будет выполняться неравенство

x2

9

.

Пусть

x 3

, которое пока не определено. Тогда

x2 9

x 3 x 3

x 3 x 3 6

x 3

x 3

6 2 6 .И если положить 2

6 , то

из неравенства

x 3

будет следовать неравенство

x2 9

. Это и означает, что limx2 9. Оста-

x 3

лось решить уравнение 2 6 0 и отобрать его положительный корень: 3

.

9

Пример 18. Доказать, используя определение ΙΙ, что

1) lim

x2 16

2; 2)

f x sin

не имеет предела в точке x 0 .

x 4

x2 4x

x

интервале 3;5 . Возьмем какую либо последовательность xn 3;5

такую, что xn

4 и lim xn

4. То-

n

гда

на

основании

теорем

о

пределах

последовательностей

имеем

lim f x

n

lim

xn

2 16

lim

xn

4

nlimxn

4

x

limx

n

n x

2 4x

n

n

n

n

n

n

4 4

2 . В силу произвольности выбранной последовательности x согласно определению ΙΙ, полу-

4

n

x2

16

чаем, что lim

2.

x 4 x2

4x

2) Возьмем две последовательности

x

1

и

n

2

, сходящиеся к точке x 0 . Рассмотрим соот-

x

n

n

4n 1

ветствующие последовательности f xn

и f

n

значений функции. Так как

f xn sin n 0, а

x

4n 1

f xn sin

1, то limsin

не существует.

2

x

x 0

8. Теоремы о пределах

1) Единственность предела. Если функция

f x имеет в точке x0 предел, то этот предел единственный.

2) Ограниченность функции, имеющей предел.

Определение 7. Функция

f x

называется ограниченной в -окрестности точки

x0 , если существует

число M 0 такое, что для всех

x из -окрестности точки x0 , т.е. для всех x удовлетворяющих нера-

венству x0 x x0

выполняется неравенство

f x

M .

Если lim f x A, то найдется -окрестность точки x0 , в которой функция

f x ограничена.

x x0

Если lim f x A и lim g x B , то:

x x0

x x0

а)

lim f

x

g x lim f x lim g x A B;

(13)

x x

x x

0

x x

0

0

б)

lim f

x

g x lim f

x lim g x A B ;

(14)

x x

0

x x

x x

0

0

в частности, если c – константа, то

lim c f x

c lim f x c A,

(15)

x x

x x

0

0

f x

lim f x

A

в)

lim

x x0

. если

B 0

(16)

lim g x

B

x x0 g x

x x0

5) Переход к пределу в неравенствах: если f x g x

(или f x g x ) для всех x из некоторой ок-

рестности точки x0 , кроме, может быть, самой точки

x0 , и каждая из функций f x

и g x имеет в

точке x0 предел, то

lim f x lim g x .

(17)

x x0

x x0

Если x f x x

для всех x из некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, са-

мой точки x0 , и функции x

и x имеют в точке x0 предел, равный A, то функция

f x имеет в

точке x0 предел, также равный A.

7) Предел сложной функции. Пусть y f u , где u g x и существуют

lim g x A и lim f u ; то-

x x0

u A

гда в точке x0 существует предел сложной функции

f g x , причем:

lim f g x lim f u .

(18)

x x0

u A

lim f x f x0 .

(19)

x x0

9. Предел функции в бесконечности

Определение 8. Пусть функция f x определена на промежутке a; + , т.е. для всех x a , a – неко-

торое число. Число A называется пределом функции f x

при x , если для любого числа 0

найдется такое число M 0, что для каждого x, удовлетворяющего условию x M , справедливо нера-

венство

f x A

; обозначение: lim f x A.

x

Определение 9. Аналогично, определяется lim f x A.

x

Определение 10. Пусть функция f x

определена на всей числовой оси, за исключением, может быть,

конечного отрезка a;b , т.е. для всех

x a или x b . Число

A называется пределом функции f x

при x , если для любого числа 0 найдется такое число

M 0, что для всех x, удовлетворяю-

щих неравенству

x

M , справедливо неравенство

f x A

; обозначение: lim f x A.

x

Теоремы о пределах при x x0 остаются справедливыми также при x , x , x .

Пример 19. Доказать, что lim ax 0,

если 0 a 1.

x

Решение. Пусть произвольное 0 выбрано . Решаем неравенство

ax 0

:ax xlga lg x

lg

. Так как все преобразования равносильны, то мы показали:

lga

функции.

Определение 11. Функция f x называется бесконечно малой при

x a , если

lim f x 0. Здесь a

x a

может быть либо конечным числом x0 , либо , , .

13

Определение 12. Если для любого числа M 0 существует такое число 0 , что для всех

x x0 и

удовлетворяющих условию

x x0

, выполняется неравенство

f x

M , то функцию f x назы-

вают бесконечно большой при x x0 , или говорят, что

f x имеет бесконечный предел при

x x0 ,

что записывается так: lim f x . Заменяя неравенство

f x

M на неравенство f x M

или на

x x0

неравенство f x M

получим определения положительной б.б. и отрицательной б.б. функций; обо-

значения: lim f x

или lim f x .

x x0

x x0

также есть б.м. функция при x x0 .

2) Если функция x является б.м. при x x0 , а

f x ограничена в некоторой окрестности точки x0 ,

то произведение x f x

есть б.м. функция при x x0 . В частности произведение x на посто-

янную c также б.м..

3) Если x – б.м. при x x0 , а функция

f x

имеет в точке x0 конечный предел,

lim f x A, то

x x0

функции x f x – б.м. при x x0 .

4) Связь между функцией, имеющей предел, с ее пределом и б.м. функцией.

Для того чтобы функция f x при

x x0

имела предел, равный A, необходимо и достаточно,

чтобы f x можно было представить в виде суммы

f x A x ,

(20)

где x – б.м. функция при x x0 .

5) Функция f x , определенная и не равная нулю в некоторой окрестности точки

x0 , кроме, может

быть, самой точки x , является б.м. при x x тогда и только тогда, когда функция

1

является б.б.

0

0

f

x

имеют место неопределенности вида

;

;

0

. Аналогично произведение б.м. на б.б. являет-

0

Пример 20. Найти предел

L lim

x3

3x 2

.

x 3

x 1 x2

Решение. Имеем неопределенность вида

0

. Для ее “раскрытия” выделяем в числителе и знаменателе

0

тель

на

x 1

и

найдем

корни

квадратного

трехчлена в

знаменателе. Тогда получим

L lim

x 1 x2 x 2

x2 x 2 0

lim

0

3

2x 3

x 1

x 1

5

2 x 1 x

2

5

.

Пример 21. Найти предел

L lim

9 2x

3

x 8

x 2

0

Решение. Здесь для раскрытия неопределенностей

используем формулы сокращенного умножения.

0

5

5

9 2x

9 2x

3 x2 23

4

9 2x 25

3 x2 23

4

L lim

x

x

lim

3

2 3

4

x 8

9 2x 5

x2

23

x 8

9 2x 5

x 8

x

x

2 3

23

4

x2

x

4 4 4 12

.

lim

2

5 5

x 8

9 2x 5

5

Пример 22. Найти пределы.

4

2

6cos2

x cosx 2

x

1) L lim

;

2)

L

lim

.

1

x 16

x 4

3

x /314cos2

x 5cosx 1

L lim

z 2

lim

z 2

lim

1

1

1

.

z 2 z 2

1

z 2 z2 4

z 2

z 2 z 2

2 2 4

1

2

1

2

1

6

z

z

6

7

3) Пусть cosx z, тогда z cos /3

при x /3

.L

lim

2

3

2

3

.

2

2

z 1/2

1

1

14 1

1

9

14 z

z

2

7

2

7

L lim

x

3

x

2

;

L

x

2

14 x

1)

2)

lim

.

2

1

x

3x

4

3x 2

2

x

x

2

2 x

Решение. Во всех задачах имеем неопределенность вида .

1)

L lim

x3 3x 2 x2 3x2 4

2x3

2

.

lim

3x2 4 3x 2

1

x

x 3x2

3x 9

2)

При нахождении

lim

f x

удобно ввести новую переменную

t x; тогда

x t,

t при

x

x . В данном случае

L2 lim

t2

14 t

t t2

2 t

t2 14

t

t2 14

t

t2 2 t

14

t2