- •Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики
- •Тема 2. Предел функции
- •2.2. Вычислить пределы функций при .
- •Тема 3. Непрерывные функции
- •Тема 4. Производные и дифференциалы функции
- •4.2. Вычислить производные.
- •Тема 5. Исследование поведения функции с помощью производных
- •Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Тема 1. Функции двух переменных
- •Тема 2. Экстремум функции двух переменных (безусловный и условный)
- •Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области
- •Тема 4. Метод наименьших квадратов Нормальная система уравнений для определения параметров и эмпирической формулы :
- •Модуль 3. Неопределенный и определенный интегралы
- •Тема 1. Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление
- •Тема 2. Интегрирование рациональных функций
- •Тема 4. Вычисление определенного интеграла
- •Тема 5. Вычисление площадей. Несобственные интегралы
Тема 5. Исследование поведения функции с помощью производных
Экстремум функции
5.1. Определить интервалы монотонности и исследовать на экстремум функции.
1) ; 2)
3) ; 4) .
Наибольшее и наименьшее значения функции
5.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
-
на отрезке [0;2]; 2) на отрезке [-3;0];
3) на отрезке ; 4) на отрезке .
Интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций
5.3. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции.
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Асимптоты графиков функций
5.4. Найти все асимптоты графиков функций.
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Исследование функции и построение графика
5.5. Провести полное исследование поведения функции и построить график.
-
; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
5.6. Постройте на отрезке [0;6] график функции , если:
Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Тема 1. Функции двух переменных
Область определения функции двух переменных
1.1. Найти значения функции при заданных значениях аргументов.
1) , , ;
2) , , ;
3) ; , .
1.2. Найти и построить область определения функции двух переменных.
1) ; 2) ; 3)
Частные и полное приращения
1.3. Дана функция .
Найти частные приращения при переходе от точки соответственно к точкам , .
Найти полное приращение при переходе от точки к точке .
Линии уровня
1.4. Построить линии уровня функции двух переменных при заданных значениях .
1) , ;
2) , ;
3) , .
Частные производные первого порядка
1.5. Найти частные производные 1-го порядка функции:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10).
1.6. Вычислить значения частных производных функции в точке.
1) , ; 2) , .
Полный дифференциал и полное приращение функции
1.7. Найти полный дифференциал и вычислить его в точке .
1) ; 2) .
1.8. Вычислить приближенно выражение, заменяя приращение функции дифференциалом.
1) ; 2) .
Градиент функции
1.9. Найти градиент функции:
1) 2) 3)
1.10. Построить линии уровня и в точке А(1;2) для функций:
1) ; 2) ; 3) .
Частные производные и дифференциалы второго порядка
1.11. Найти частные производные второго порядка. Убедиться в равенстве смешанных частных производных.
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
1.12. Найти дифференциал второго порядка для функций.
1) ; 2) ; 3) .
Тема 2. Экстремум функции двух переменных (безусловный и условный)
Безусловный экстремум функции
2.1. Найти экстремум функции двух переменных .
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
Условный экстремум функции
2.2. Найти условный экстремум функции, применяя метод подстановки.
-
, если ;
-
, если ;
-
, если .
Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области
3.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области.
1) функция , границы области {, , };
2) функция область решений неравенств
3) функция , границы области {, , }.
3.2. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции в области, заданной системой линейных неравенств.
1) функция , область {, , };
2) функция область
3) функция область