Лабораторная работа №13. Трифилярный подвес

Цель работы: измерение тензора инерции твердого тела и построение его эллипсоида инерции.

Оборудование: установка, секундомер, штангенциркуль.

Для измерения моментов инерции твердых тел в работе применяется трифилярный подвес. Платформа радиусаR подвешена на трех нитях длины l к малой платформе радиуса r. Верхняя платформа держится на кронтштейне, прикрепленным к стене, и снабжена рычажком с пружинкой, соединенной с нитью, с помощью которого можно повернуть нижнюю платформу на произвольный угол. При повороте нижней платформы появляется момент упругих сил, стремящийся вернуть платформу в исходное положение, и платформа совершает крутильные колебания.

Рис. 6. Трифилярный подвес.

Теория эксперимента. Получим выражение для компонент тензора инерции, для этого рассмотрим твердое тело произвольной формы, закрепленное таким образом, что оно может вращаться вокруг неподвижной точки - центра масс тела. Введем декартову систему координат с началом в центре масс. Твердое тело является системой материальных точек, которыми мы будем считать бесконечно малые объемы, составляющие тело. Каждый i-й объем будет иметь массу и радиус- вектор , проведенный из начала координат в точку, где находитсяi –элемент, а также скорость , где– вектор угловой скорости, описывающий вращение твердого тела. Момент импульса тела относительно центра масс определяется как сумма моментов импульса составляющих его материальных точек:

. (1)

Распишем формулу (1) по проекциям на координатные оси, получим

(2)

где девять величин симметричного тензора определяются по формулам:

(3)

Формулу (2) запишем в матричном виде:

. (4)

Или кратко: . Величина называется тензором инерции твердого тела. Векторыимогут быть неколлинеарными.

Величины являются диагональными элементами тензора и называются осевыми моментами инерции. Компоненты тензораявляются недиагональными элементами и носят название его центробежных элементов. Тензор, у которого равны элементы, симметричные относительно главной диагонали называется симметричным тензором. Из формул (3) видно, что тензор инерции является симметричным. В курсе линейной алгебры доказывается, что симметричный тензор может быть приведен к диагональному виду, то есть можно выбрать такую систему координат, чтобы все недиагональные элементы обратились в ноль. Такие направления координатных осей называются главными осями инерции, а величины– главными моментами инерции тела.

Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, направление которой совпадает с направлением вектора угловой скорости , то удобно представить радиус-векторi-го элемента тела, как сумму двух векторов, один из которых параллелен оси вращения, а другой перпендикулярен ей:

, (5)

где ,. Скоростьi-го элемента равна векторному произведению угловой скорости на его радиус-вектор:

. (6)

При рассмотрении этого случая введем понятие момента импульса относительно фиксированной оси. Если ось проходит через центр масс, то соответствующий момент импульса равен:

, (7)

где

(8)

является моментом инерции относительно оси, определяющей направление вектора угловой скорости . Введем направляющие косинусы, чтобы выразить момент инерцииJ через координаты i-го элемента

, (9)

. (10)

По теореме Пифагора . Рассмотрим отдельно

(11)

Представим J в виде

. (12)

Перегруппируем в последней формуле члены по степеням косинусов, получим:

(13)

В соотношении (13) компоненты тензора инерции определены относительно некоторой неподвижной системы координат, поэтому при вращении тела все они меняют свою величину. В то же время, как видно из определения момента инерции относительно оси (8), он должен оставаться неизменным при вращении тела. Пусть в некоторый момент времени тензор принимает в данной системе координат диагональный вид:

. (14)

Поэтому для определения Jпо формуле (13) возьмем произвольный момент времени, когда система координат, связанная с телом, совпадает с неподвижной системой координат. Таким образом, мы будем рассматривать компонентыи т. д. в уравнении (13) как определенные в некоторой системе координат, связанной с телом. Рассмотрим геометрическую интерпретацию соотношения (13). В декартовой системе координат для каждого из направляющих косинусовcosα, cosβ, cosγоси вращения отложим по осямOX, OY, OZвеличины

(15)

Множество точек с координатами (x,y,z) определяет некоторую поверхность. Чтобы найти уравнение этой поверхности, подставим в (13) направляющие косинусы, выраженные через (x,y,z):

. (16)

Получим уравнение поверхности второго порядка

. (17)

Поверхность, описываемая данным уравнением, является эллипсоидом. Такой эллипсоид называется эллипсоидом инерции. В главных осях он запишется в более компактном виде:

. (18)

С помощью этого эллипсоида можно определить значение момента инерции если заданы направляющие косинусы оси. Проведем из центра эллипсоида прямую l с направляющими косинусами . Расстояние от начала координат до пересечения этой прямой с поверхностью эллипсоида будет равно

. (19)

Для измерения моментов инерции твердого тела в данной работе будет использоваться трифилярный подвес. Круглая платформа подвешена на трех нитях одинаковой длины к платформе меньшего диаметра. Малая платформа укреплена на кронштейне и снабжена рычагом с пружиной, при помощи которых системе можно сообщить крутильные колебания. Если повернуть верхнюю платформу на некоторый угол φ, то увеличится ее потенциальная энергия. Пусть сначала нижняя платформа находится на Z₀ ниже верхней, после поворота, она уже будет на высоте Z, так что приращение высоты нижней платформы равно , тогда если пренебречь силами трения согласно закону сохранения энергии получим:

, (20)

где J– момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, E – полная энергия системы. Приращение потенциальной энергии нижней платформы выразим через угол поворота платформы. Для этого поместим начало координат в центре верхней платформы. Тогда точка С, показанная на рисунке 6, имеет координаты (r, 0, 0), а точка С’ нижней плоскости после поворота на угол φ будет иметь координаты (Rcosφ, Rsinφ, Z). Расстояние равно длине нитиl. То есть квадрат длины равен квадрату длины нити:

. (21)

Первоначальное расстояние между платформами равно Z₀, поэтому, согласно теореме Пифагора:

. (22)

Из уравнений (21) и (22) следует, что

. (23)

Здесь было применено приближение для малых углов . Тогда при малых углахφ

. (24)

Очевидно, что . (25)

Подставим это выражение в (20):

. (26)

Продифференцируем (26) по времени и сократим на , получим:

. (21)

Решением данного дифференциального уравнения являются функции, вида:

. (22)

Амплитуда φ₀ и фаза θ определяются начальными условиями. Множитель

(23)

является собственной циклической частотой колебаний. Тогда период колебаний:

. (24)

Зная период колебаний, можно рассчитать момент инерции, как в случае пустой платформы так и платформы с грузом:

. (25)

Ход работы

1. Не нагружая платформы, проверить, пригодна ли установка для измерений. Убедиться, что устройство для возбуждения колебаний исправно и правильно действует, а также что не возникают паразитные маятникообразные движения платформы.

2. Проверить диапазон амплитудных значений угла колебаний, в котором период колебаний не зависит от амплитуды. Это справедливо только для достаточно малых значений φ₀. Для проверки возбудить в ненагруженном подвесе колебания с амплитудой15⁰измерить время 20-30 периодов колебаний. Затем уменьшать амплитуду на5⁰и результаты записывать в таблицу. Выяснить, в пределах каких углов колебания можно считать малыми.

Таблица 1

t20
T

3. Запустить пустую платформу, и измерить время 50-100 периодов колебаний. Рассчитать момент инерции платформы. Рассчитайте теоретическое значение момента инерции платформы. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу:

Таблица 2

	M	R	r	t	T

4. Поместить на платформу исследуемое тело правильной формы так, чтобы ось вращения проходила через центр масс тела. Определить период колебаний всей системы. Рассчитать момент инерции платформы с грузом , принимая массу системы равной суммарной массе платформыи массе груза. Определить момент инерции тела по формуле: .

5. Перевернуть тело, поставить на другую грань, экспериментально определить момент инерции исследуемого тела относительно другой оси вращения. Найти момент инерции относительно третьей оси.

Таблица 3

N		M	R	r	t	T	J	Jпл	Jтела	Jтеор
1
2
3

Обработка результатов

6. Используя экспериментальные данные, вычислить длины главных полуосей эллипсоида инерции тела. Построить эллипсоид инерции на листе миллиметровой бумаги.

7. Измерить массу и линейные размеры тела, рассчитать теоретически моменты инерции тела относительно трех главных осей вращения. Сравнить полученные теоретические и экспериментальные значения.

Контрольные вопросы:

1. Рассчитать момент инерции тела относительно оси, направление которой укажет преподаватель.

2. Доказать, что момент инерции однородного куба массы m с ребром a относительно любой оси, проходящей произвольным образом через его центр масс равен .

3. Получить из формулы (1) формулы (3) для элементов тензора инерции.

4. Вывести формулы для главных моментов инерции однородного прямоугольного параллелепипеда.

5. При выводе уравнения (21) предполагалось, что платформа совершает малые колебания. Каким будет уравнение колебаний, если угол φ нельзя будет считать малым?

6. Что такое нелинейные колебания?

7. Убедитесь, что функция (22) является решением уравнения (21).

8. Назовите причины неучтенных погрешностей в лабораторной работе.

9. Записать уравнение эллипсоида инерции для точки, лежащей в вершине однородного куба массы M с длиной ребра l.

10. Для прямоугольного однородного параллелепипеда массы M и длиной ребер a, b, c определить момент инерции относительно его пространственной диагонали.

Литература: [1] § 36, §44, § 53, [2] § 31-32, [8] глава 8, § 8.1.