Лабораторная работа №12. Маятник Максвелла

Цель работы - ознакомление с плоским движением твердого тела на примере движения маятника Максвелла.

Лабораторная установка «маятник Максвелла» входит в состав комплекса приборов «Физические основы механики». Общий вид показан на рис. 3. На платформе прибора (1) установлен электронный блок (2), и вертикальная колонна (5). На колонне установлены два кронштейна: верхний (6) и нижний (11). На верхнем кронштейне установлены электромагнит (9), фотоэлектрический датчик (7) и вороток (8) для регулирования длины нитей, а на нижнем закреплен второй фотоэлектрический датчик (3). Положение нижнего кронштейна можно менять и фиксировать на любой высоте.

Рис. 3. Лабораторная установка «Маятник Максвелла».

Маятник Максвелла состоит из тонкого металлического стержня (4) с симметрично укрепленным на нем диском (10). К концам стержня прикреплена крепкая капроновая нить, длину которой можно регулировать с помощью воротка (8). Нить пропущена через отверстия в верхнем штативе. На диск маятника надевают одно из сменных колец, затем тщательно, виток к витку, на стержень наматывают нити, от его концов к диску. Их длина измеряется по миллиметровой шкале колонны по красному указателю, помещенному на оптической оси нижнего оптического датчика. При нажатии кнопки «СБРОС» показания таймера обнуляются и включается электромагнит. Он удерживает верхнем положении маятник. Если нажать кнопку «ПУСК», размыкается цепь электромагнита и маятник начинает двигаться под действием силы тяжести поступательно вниз и, одновременно, вращательно вокруг оси симметрии стержня. Когда нити будут полностью размотаны, в нижней точке, угловая скорость вращения маятника будет максимальной, и тогда нити будут наматываться на стержень снова, а маятник станет подниматься вверх, замедляясь. Двигаясь равнозамедленно вверх, маятник достигнет наивысшей точки, остановится, и начнет снова движение вниз и т. д. Диск со стержнем совершает попеременные перемещения вверх-вниз, это похоже на движение маятника, отсюда и название «маятник Максвелла». Каждый цикл движения маятника Максвелла состоит из трех стадий: спуска, рывка и подъема вверх. Схематически график изменения скорости оси маятника при его движении имеет вид, изображенный на рисунке 4. На интервале времени маятник движется равноускоренно, затем кинетическая энергия поступательного движения маятника переходит в потенциальную энергию деформации нити, происходит рывок, в результате которого нить сначала растягивается до максимального удлинения, а затем (на промежутке времени), начинает сокращаться, тогда скорость маятника меняет знак, и, затем, маятник движется вверх в течение времени.

Рис. 4. Три стадии движения маятника Максвелла.

Как видно из рисунка 4, время спуска и подъема маятника во много раз превышает время рывка. В течение спуска и поднятия на маятник действуют сила тяжести, сила упругости нитей и силы трения и сопротивления воздуха. Эти силы не изменяются во времени. Во время удара кратковременно действует сила упругости, которая появляется в результате дополнительного растяжения нитей в момент остановки. Эта сила резко нарастает и убывает во времени.

Кинетическая энергия маятника Максвелла состоит из кинетической энергии поступательного и вращательного движения. Во время рывка кинетическая энергия поступательного движения переходит в потенциальную энергию деформации нитей, а кинетическая энергия вращательного движения остается у маятника и заставляет его подниматься вверх.

Рис. 5. Три стадии движения маятника Максвелла: а) спуск, б) рывок, в) подъем.

Вывод полного аналитического решения для всего цикла движения маятника не является задачей данной работы. Мы рассмотрим стадии движения по отдельности в упрощенном виде. Поскольку движение происходит под действием силы тяжести и силы натяжения нитей, то движение маятника без раскачивания возможно только, если нити находятся в вертикальной плоскости. На рисунке 5 показаны положения маятника, характерные для его раскручивания, удара и подъема. Видно, что максимальный угол отклонения нити от вертикали связан с радиусом стержня и длиной нити h: . Поэтому силы упругости нитей не всегда направлены вертикально, а имеют во время рывка и подъема горизонтальную составляющую, которая приводит к колебаниям маятника, показанным на рисунке. Ею, как и колебаниями, мы будем пренебрегать.

Теория эксперимента: движение маятника Максвелла рассмотрим как поступательное движение его центра масс в плоскости, проходящей через диск, и вращение стержня с диском относительно оси симметрии. Это позволит нам применить теорему о движении центра масс и уравнение моментов.

Если не учитывать силу трения маятника о воздух и отклонение нитей от вертикали, то система уравнений для первой и третьей стадий движения будут совпадать и иметь вид:

, (1)

. (2)

Здесь m – масса маятника, – момент импульса диска со стержнем относительно их общей оси симметрии, – радиус стержня маятника, – сила натяжения одной нити, – момент силы упругости одной нити.

В качестве положительного направления движения выберем направление сверху вниз, и учтем, что , тогда уравнения (1) и (2) примут вид:

, (3)

. (4)

Между ускорением a поступательного и угловым ускорением вращательного движения существует связь:

. (5)

Из уравнений (4) и (5) следует, что

, (6)

Подставим выражение для силы упругости нитей в (3), получим формулу для ускорения:

. (7)

Ускорение a будет направлено вниз как на первой, так и на третьей стадии движения. Начальная скорость центра масс маятника при опускании равна нулю, а в начале его подъема она максимальна. Из уравнений (3) и (6) получаем формулу для момента инерции:

. (8)

Двигаясь равноускоренно, маятник преодолевает расстояние h за время t:

. (9)

С учетом (9) момент инерции можно рассчитать, зная пройденное маятником на первой стадии расстояние и время спуска:

. (10)

В лабораторной работе используется маятник Максвелла со сменными кольцами, имеющими внутренний радиус и внешний. Зная размеры и массы стержня, диска и колец, можно рассчитать теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла. Без кольца он складывается из момента инерции стержня и диска:

, (11)

Момент инерции кольца равен:

. (12)

Здесь m_ст – масса стержня, m_д – масса диска, m_к – масса кольца, r₁ – внутренний радиус кольца, r₂ – внешний радиус стержня, который равен внутреннему радиусу диска, а внешний радиус диска равен внутреннему радиусу кольца .– внешний радиус кольца.

Скорость спуска центра масс маятника непосредственно перед ударом:

, (13)

После удара маятника движется вверх равнозамедленно с ускорением а, направленным так же вниз. Начальная скорость движения центра масс маятника при подъеме , строго говоря, не равна скоростиперед рывком:. Найти ее можно, зная высоту подъемаи время подъема:

. (14)

Расстояние h₂ несколько меньше, чем расстояние h, пройденное при спуске. Потери механической энергии маятника за один цикл движения можно определить по разность этих высот:

. (15)

Причиной этих потерь является работа силы трения о воздух, а также неупругие потери в нити во время рывка. Как уже было сказано выше, кинетическая энергия маятника состоит из двух частей:

. (16)

Радиус диска во много раз превышает радиус стержня, поэтому , а это значит, что кинетическая энергия вращательного движения во много раз превышает кинетическую энергию поступательного движения.

При ударе теряется малая часть энергии маятника Максвелла, и отношение скоростей после удара и до удара близко к единице. Поэтому в данной системе можно наблюдать многократное повторение цикла движений вниз и вверх, похожие на колебания, а система получила название «маятник».

Рассчитаем среднюю силу рывка или удара в нижней точке движения маятника. Явление удара сопровождается резкими изменениями сил взаимодействия при очень малом времени этих изменений. Эти силы сначала нарастают, а затем убывают. Зависимость их от времени нам неизвестна, поэтому здесь не будут применены уравнения движения в явном виде.

Среднее значение силы удара определим как отношение приращения импульса к приращению времени:

. (17)

Поскольку скорость при ударе меняет знак, то изменение импульса равно:

. (18)

Потери энергии маятника во время рывка малы, поэтому можно считать, что во время рывка происходит вращение со средней угловой скоростью , которая равна:

. (19)

За время удара будем считать поворота маятника на угол со средней угловой скоростью:

. (20)

Тогда средняя сила рывка будет равна:

. (21)

Более детальный анализ, выполненный в работе [6], показывает, что максимальное значение силы удара превышает найденное среднее значение силы враз.

Наблюдая процесс движения маятника, можно убедиться, что отклонение нитей от вертикальной плоскости, возникающее после удара, приводит к появлению небольшого раскачивания оси маятника во время его подъема.

Ход работы

Прибор не нуждается в прогреве и готов к работе непосредственно после включения. Работа состоит из двух частей: задача первой части состоит в

определении момента инерции маятника

1. Передвиньте нижний кронштейн в крайнее нижнее положение и зафиксируйте. На диск маятника наденьте одно из колец и прижмите его до упора.

2. Намотайте нити на стержни маятника и зафиксируйте его в верхнем положении. Проверьте, совпадает ли нижняя граница кольца с нулем шкалы на колонне.

3. Нажмите клавишу «ПУСК» миллисекундомера.

4. Освободите гайку воротка для регулирования длины нитей. Длину нитей подберите так, чтобы после опускания маятника край стального кольца находился около 2 мм ниже оптической оси фотоэлектрического датчика. Проверьте уровнем, является ли плоскость поверхности прибора горизонтальной. Ось маятника должна быть параллельна этой плоскости. Закрепите вороток.

5. Отожмите клавишу «ПУСК» миллисекундомера.

6. Равномерно, виток к витку, намотайте на стержни маятника нити подвески. Зафиксируйте маятник в верхнем положении с помощью электромагнита (нить намотки не должна быть слишком скручена).

7. Поверните маятник на угол 5⁰ в направлении его движения. Нажмите клавишу «СБРОС», а затем клавишу «ПУСК». Определите время падения диска 5 раз и найдите среднее значение времени. Выполните измерения со всеми кольцами и результаты занесите в таблицу:

	m		h	D	J	a

Задача второй части - определение точности и правильности работы прибора

8. Рассчитайте теоретическое значение момента инерции маятника с каждым из колец по формулам (11) и (12).

9. Рассчитайте погрешность измерений для каждого случая по формуле:

.

Заполните таблицу:

mст	Jст	mд					J	σ

10. Измерьте высоту подъема маятника на третьей стадии движения.

Обработка результатов

11. Постройте график теоретической зависимости ускорения маятника от величины .

12. Постройте график экспериментальной зависимости ускорения маятника от величины .

Контрольные вопросы

1. Получите формулу для момента инерции однородного диска.

2. Получите формулу для момента инерции однородного цилиндра.

3. Получите формулу для ускорения диска Максвелла.

4. Какие упрощающие предположения были сделаны при выводе формулы для ускорения?

5. Какие упрощающие предположения были сделаны при выводе формулы для средней силы рывка?

6. Сравните кинетическую энергию поступательного и вращательного движения маятника Максвелла в нижней точке на стадии спуска.

7. Рассчитайте потери энергии маятника за полный цикл движения и сравните с полной кинетической энергией маятника.

8. Рассчитайте среднюю силу рывка.

9. С каким периодом маятник Максвелла совершает колебания вперед-назад относительно вертикали? Сравните это время с полным циклом движения диска.

10. Рассчитайте максимальную силу рывка.

Литература: [1] § 44, § 48, [2] §31-34, [6] c. 137, [8] глава 8, § 8.1.