1. 3. Индексы узлов, узловых прямых и узловых плоскостей.

Если положение данного узла задано вектором , то числа m, n и p по существу являются координатами узла решетки и называются индексами узла.

В пространственной решетке можно провести бесконечное число узловых прямых. Узловые прямые, параллельные между собой, образуют семейство узловых прямых. Для характеристики направления прямых данного семейства достаточно определить направление одной из его прямых – той, которая проходит через начало координат. Положение её по отношению к основным кристаллографическим осям однозначно характеризуется координатами ближайшего к началу координат узла. Таким образом, координаты этого узла являются индексами узловой прямой. Индексы узловых прямых при написании отличают от индексов узлов тем, что первые условились заключать в квадратные скобки (например, [u, v, w], а вторые - в двойные квадратные скобки - [ [ u, v, w ] ]).

Пространственная решетка кристалла характеризуется также различными совокупностями параллельных и равноотстоящих друг от друга узловых плоскостей, которые называются семействами узловых (атомных) плоскостей.

Рис. 2. Семейства плоскостей. Межплоскостные расстояния.

Кратчайшее расстояние между соседними плоскостями данного семейства называется межплоскостным расстоянием и обозначается буквой d. На рис. 2 приведены проекции нескольких семейств плоскостей и указаны соответствующие межплоскостные расстояния. Пространственное расположение плоскостей данного семейства однозначно определяется расположением одной из параллельных плоскостей. Для определенности берут плоскость семейства, ближайшую к началу координат, но не проходящую через начало координат.

В общем случае такая плоскость отсекает на координатных осях отрезки, величина которых может быть выражена в долях элементарных трансляций. Пусть, например, плоскость отсекает на осях отрезки a/h, b/k, c/l (рис.3).

Рис. 3. К определению индексов плоскости.

Числа h, k, l, характеризующие наклон плоскости по отношению к основным кристаллографическим осям, являются координатами или индексами данной плоскости и в то же время –индексами всего семейства параллельных плоскостей. Индексы плоскостей принято заключать в круглые скобки – (h k l), причем запятые между h,k,l не ставятся.

По имени ученого, впервые предложившего такое определение индексов, они называются индексами Миллера. Если h, k, l являются дробными, то индексами семейства служат целые числа – числители, приведенных к общему знаменателю, дробей. Так, например, если плоскости отсекают по оси x отрезок a/2, по оси y – 2b/3, а по оси z –1, т.е. h=2, k=3/2, l=1, то индексы Миллера в данном случае есть (432).

Если плоскость отсекает на какой- либо оси отрезок в отрицательном направлении, то над соответствующим индексом ставится знак минус (например, ()).

Если плоскости семейства параллельны какому-либо из основных кристаллографических направлений, т.е. пересекают его в бесконечности, то соответствующий индекс Миллера равен 0 (например, плоскости семейства (hk0) параллельны оси z). Если плоскости семейства параллельны какой-либо из координатных плоскостей, т.е. параллельны двум основным осям, то два соответствующих индекса равны 0 (так плоскости (00l) параллельны координатной плоскости xy, а (0k0) – плоскости xz).

Легко убедится, что семейства плоскостей с небольшими межплоскостными расстояниями d_hkl имеют сравнительно большие индексы Миллера, а семейства с большими d_hkl - относительно малые индексы.

Число узлов, приходящихся на единицу площади плоскости данного семейства, называется ретикулярной плотностью. Если рассматривать только такие семейства плоскостей, каждое из которых содержат все узлы решетки, то системы с наибольшими d_hkl будут содержать плоскости с наибольшей ретикулярной плотностью (т.к. число атомов в данном кристалле постоянно).

Геометрический смысл индексов плоскости (hkl) ясен из уравнения плоскости в отрезках, представленного в декартовых координатах X,Y,Z:

(1.2)

Уравнение (1.2) есть уравнение первой от начало координат плоскости семейства hkl.