7.3.5. Собственные значения физических величин

В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор. Под оператором подразумевается правило, посредством которого одной функции (обозначим ее φ) сопоставляется другая функция (обозначим ее f). Символически это записывается следующим образом:

Здесь Q — обозначение оператора, с таким же успехом можно взять любую другую букву (или даже букву «в некоторой степени») полужирного прямого шрифта, например H, U, L2 и т. д.

Под символом оператора скрывается совокупность действий, с помощью которых исходная функция (φ) превращается в другую функцию (f). Например, под символом скрывается двукратное дифференцирование по всем трем координатам x, у и z с последующим суммированием полученных выражений. Оператор может, в частности, представлять собой умножение исходной функции φ на некоторую функцию U. Тогда f = Uφ = Uφ и, следовательно, U = U.

Если рассматривать функцию U в уравнении

− 2 ∆ψ +Uψ = Eψ

2m

как оператор, действие которого на волновую функцию сводится к умножению ψ на U, то уравнению можно придать вид

Hψ=Eψ (7.42)

В этом уравнении символом Н обозначен оператор, равный

сумме операторов – 2 ∆ и U.

2m

Этот оператор называют гамильтонианом.

Гамильтониан является оператором энергии E. В квантовой механике другим физическим величинам также сопоставляются операторы. Соответственно рассматриваются операторы координат, импульса, момента импульса и т. д. Для каждой физической вели-

195

чины q составляется уравнение, аналогичное уравнению (7.42). Оно имеет вид

где Q — оператор, сопоставляемый физической величине q. Сказанное по поводу собственных значений и собственных

функций энергии справедливо и для других физических величин. Значения q, при которых решения уравнения (7.40) удовлетворяют стандартным условиям, называются собственными значениями величины q, а сами решения — ее собственными функциями. Спектр собственных значений может быть как дискретным, так и сплошным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

q1, q2, ....., qn, ... (7.45)

ψ1, ψ2, ....., ψn, ....

Согласно одному из постулатов квантовой механики при измерениях физической величины q, представляемой оператором Q, могут получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

7.3.6. Квантование момента импульса

Имеются четыре оператора, относящихся к моменту импульса частицы, — оператор квадрата момента L2 и три оператора проекций момента на оси координат: Lx, Ly, Lz. Оказывается, что одновременно могут иметь определенные значения лишь квадрат момента и одна из проекций момента на координатные оси. Две другие проекции оказываются при этом совершенно неопределенными. Это означает, что «вектор» момента не имеет определенного направления и, следовательно, не может быть изображен, как в классической механике, с помощью направленного отрезка прямой.

Решение уравнения

L2ψ = L2ψ

является очень трудным. Поэтому мы ограничимся приведением конечных результатов: собственные значения оператора квадрата момента импульса равны

196

Здесь — квантовое число, называемое азимутальным. Следо-

вательно, модуль момента импульса может иметь лишь дискретные значения, определяемые формулой

Вид оператора Lz довольно прост. Поэтому мы можем рассмотреть решение уравнения

Lzψ = Lzψ (7.48)

в качестве еще одного примера на нахождение собственных значений.

В сферических координатах (r, υ, φ) оператор проекции момента импульса на полярную ось z (от которой отсчитывается полярный угол υ), имеет вид

∂

Lz = — iħ ∂ϕ .

Следовательно, уравнение (7.48) выглядит следующим образом:

Подстановка ψ =exp(αφ) приводит после сокращения на общий множитель exp(αφ) к алгебраическому уравнению

–iħα = Lz,

из которого для α получается значение iLz/ħ. Таким образом, решение уравнения (7.49) имеет вид

ψ = C·exp[i(Lz/ħ)φ].

Для того чтобы эта функция была однозначной, необходимо выполнение условия ψ(φ + 2π)= ψ(φ), или exp [i (Lz/ħ) (φ + 2π)] == ехр [i(Lz/ħ)φ].

Это условие будет выполнено, если положить Lz = mћ , где m — целое положительное или отрицательное число либо нуль. Следовательно, оператор Lz обладает дискретным спектром:

Lz = mћ(m = 0, ±1, ±2, ...) (7.50)

По причинам, которые выяснятся в дальнейшем, m называется магнитным квантовым числом.

197

Поскольку проекция вектора не может превзойти модуль этого вектора, должно выполняться условие

|mћ| ≤ ћ∙ ( +1).

Отсюда следует, что максимальное возможное значение |m| равно .

Для удобства обозрения напишем вместе полученные результаты:

Lz = mћ(m = 0, ±1, ±2, ... ± ).

Из этих формул вытекает, что |Lz| всегда меньше |L|. Следовательно, направление момента импульса не может совпадать с выделенным в пространстве направлением. Это согласуется с тем обстоятельством, что направление момента в пространстве является неопределенным.

Подчеркнем, что отличные от (7.47) значения |L| и LZ не могут наблюдаться ни при каких обстоятельствах. Поэтому моменты макроскопических тел также подчиняются правилам (7.47). Правда, вследствие малости n дискретность моментов макроскопических тел практически не обнаруживается, подобно тому как вследствие малости элементарного заряда е не обнаруживается дискретность макроскопических электрических зарядов.

Отметим, что из правил квантования момента вытекает, что постоянную Планка ћ можно рассматривать как естественную единицу момента импульса.

Момент импульса системы, состоящей из нескольких микрочастиц, равен сумме моментов отдельных частиц.

7.3.7. Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы Fx =

–kx. Потенциальная энергия такой частицы имеет вид

U = kx2/2. (7.52)

где m — масса частицы, k = ω2m. Выразив в этой формуле k через

198

m и ω, получим

U= mω2x2/2.

Водномерном случае Δψ = d2ψ/dx2. Поэтому уравнение Шрёдингера для осциллятора выглядит следующим образом:

(E — полная энергия осциллятора).

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (7.53) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при значениях параметра E, равных

En = (n + 1/2) ћω (n=0,1,2,...). (7.54)

На рис. дана схема энергетических уровней гармонического осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. Однако следует помнить, что в квантовой механике полная энергия не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Ek и U.

Уровни энергии гармонического осциллятора являются эквидистантными, т. е. отстоящими друг от друга на одинаковое расстоя-

199