ω2p = |
e2N |
(2.16) |
|||
ε ε |
|
m* |
|
||
|
0 |
∞ |
|
|
|
–квадрат плазменной частоты свободных |
носителей заряда; |
||||
N = ND = NA –концентрация ионизирующей примеси в слоях n и p-типа; ε0 –электрическая постоянная; ε∞ –высокочастотная диэлектрическая
проницаемость. В такой яме разрешенные уровни энергии спектра размерного квантования совпадают со спектром квантового гармонического осциллятора
E |
= ω |
|
|
1 |
|
m =0,1,....,∞ |
(2.17) |
|
m + |
2 |
. |
||||
m |
|
p |
|
|
|
|
2.1.2. Квантовые нити
Для квантовых нитей, в которых для определенности движение вдоль оси z будем считать свободным, потенциальная энергия является функцией координат x и y. Решением уравнения (2.1) в этом случае является огибающая функция
ψ |
kzm |
(r)= |
1 |
|
|
exp(ik |
z |
z)ϕ |
m |
(x,y), |
(2.18) |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
L |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где kz –компонента |
волнового |
вектора, |
соответствующая |
свободному |
||||||||||
движению вдоль оси z; L–длина квантовой нити; ϕm (x,y)–огибающая
функция, описывающая движение в плоскости сечения перпендикулярной оси нити и являющаяся решением уравнения
|
|
2 |
d |
2 |
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
+V (x,y) ϕ |
|
(x,y)= E ϕ |
(x,y) |
(2.19) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2m* d x2 |
|
d y2 |
|
m |
m m |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с граничными |
условиями ϕm =0 |
на бесконечности. |
Энергетический |
|||||||||||
спектр носителей заряда в квантовой нити, соответствующий огибающим функциям (2.18), как и в случае квантовой ямы, состоит из двух частей–энергии свободного движения, являющейся непрерывной функцией kz , и дискретных уровней энергии размерного квантованияEm :
E |
m |
(k |
z |
)= |
2 |
k2 |
+ E |
m |
. |
(2.20) |
|
2m* |
|||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
23
Все уровни энергии при заданных квантовых числах m5, как и в случае КЯ, образуют подзону.
В простейшем случае, когда потенциальную энергию можно представить в виде двух прямоугольных бесконечно глубоких КЯ шириной a вдоль оси x и b вдоль оси y –
V (x,y)=Va (x)+Vb (y), |
(2.21) |
решением уравнения (2.19) являются огибающие функции, представляющие собой произведение функций вида (2.5)–
ϕm (x,y)= ϕmxmy (x,y)= ϕmx (x)ϕmy (y). |
(2.22) |
Энергия уровней размерного квантования, функциям равна
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
my |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
π |
m |
x |
|
|
|
|
||||||
E |
= E |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
mxmy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m |
|
|
2m* |
a |
|
|
b |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1.3. Квантовые точки
соответствующая этим
mx , my =1,2...,∞ (2.23)
В КТ движение носителей заряда ограничено по всем трем координатам. Огибающие функции носителей заряда являются решениями уравнения (2.1), которые описывают локализованное движение и зависят от трех квантовых чисел6. Энергетический спектр этого движения является дискретным и имеет атомный вид. Если потенциальную энергию носителя заряда в КТ можно представить в виде суммы потенциальных энергий трех прямоугольных бесконечно глубоких ям
V (r)=Va (x)+Vb (y)+Vc (z), |
(2.24) |
огибающая функция будет иметь вид произведения трех функций вида
(2.5)
ϕm (r)= ϕmxmymz (x,y,z)= ϕmx (x)ϕmy (y)ϕmz (z). |
(2.25) |
Этой функции будет соответствовать энергия уровней размерного квантования равная сумме энергий движения вдоль каждой из осей–
5В квантовой нити значку m соответствует два квантовых числа, задающих локализованное состояние двумерного движения в плоскости x,y.
6Без учета спина.
24
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
my |
2 |
m |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
π |
m |
x |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||
E |
= E |
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
mxmymz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m |
|
|
2m* a |
|
|
|
b |
|
c |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx , my ,mz =1,2...,∞ |
(2.26) |
||||||||||
2.2.Одномерные сверхрешетки
Всверхрешетках из квантовых ям носители заряда с энергией ниже потенциального барьера могут туннельным способом переходить из одной потенциальной ямы в другую. В случае периодических СР волновые функции в приближении эффективной массы являются решением уравнения (2.2) с периодической функцией потенциальной энергии вдоль оси роста (симметрии) решетки. Если ось z совпадает с осью симметрии, огибающая волновой функции, согласно теореме Блоха, принимает следующий вид
ψ |
mk |
(r)= |
1 |
|
exp(ikr)ϕ |
mkz |
(z). |
(2.27) |
||
|
|
|
||||||||
V |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕkzm (z)–периодическая часть функции Блоха, соответствующей движению вдоль оси z
ϕmkz (z + d n)= ϕmkz (z), |
(2.28) |
где d = a +b – период СР, состоящий из квантовой ямы и барьера шириной a и b соответственно; n–целое число. Собственные значения энергии функции (2.27) равны
E |
m |
(k)= |
2 |
k2 |
+ E |
m |
(k |
z |
), |
(2.29) |
|
2m* |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где Em (kz )–периодическая функция энергии, соответствующая функции ϕkzm (z)–
|
|
|
|
2π |
|
|
|
(k |
|
), |
|
N |
|
N |
|
|
E |
k |
z |
+ |
d |
n |
= E |
m |
z |
( − |
|
≤ n < |
|
) (2.30) |
|||
2 |
2 |
|||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N–число периодов СР. Согласно теореме Блоха, неэквивалентные значения компоненты волнового вектора kz меняются в пределах первой
зоны Бриллюэна СР
− |
π |
≤ kz < |
π |
. |
(2.31) |
d |
|
||||
|
|
d |
|
||
|
|
|
25 |
|
|
Все уровни энергии при заданном значении m составляют минизону, в которой энергия является квазинепрерывной функцией волнового вектора k. Квантовое число m соответствует номеру минизоны.
В случае прямоугольных квантовых ям и барьеров–приближение Кронига-Пенни–значения энергии Em (kz ) являются решением транс-
цендентного уравнения7
|
cos(ka)ch(sb)+ |
1 |
|
γ − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2.32) |
||||
|
2 |
|
γ |
sin(ka)sh(sb)= cos(kzd ), |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m E |
|
|
|
|
|
|
|
2m (V |
− E) |
|
|
sm |
|
|
где |
k = |
|
a |
; |
|
|
s |
= |
|
b b |
|
|
; |
γ = |
a . |
(2.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
km |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
В уравнении (2.32) использованы те же обозначения, что и в уравнении (2.10). При sb → ∞, что имеет место при Vb > E и b → ∞, уравнение
(2.32) переходит в уравнение (2.10) для изолированных прямоугольных КЯ конечной глубины. При sb >>1, когда вероятность туннелирования между КЯ становится малой, СР называются решетками со слабо взаимодействующими КЯ. Приближение, которое используется для расчета энергетического спектра и волновых функций таких СР, называется приближением сильной связи. Название этого приближения учитывает тот факт, что носители заряда, за счет сильного взаимодействия с КЯ, в которой находятся, почти все время проводят в ней, лишь изредка туннелирую в другие ямы. Для энергетического спектра носителей заряда из решения уравнения (2.32) в приближении сильного взаимодействия получаем
E |
(k |
z |
)= E |
+ (−1)m |
∆m |
cos(k |
z |
d ), |
m =1, 2... (2.34) |
|
|||||||||
m |
|
m |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Em –решения уравнения (2.10), ∆m –ширина минизоны8. На рис. 2.1.
представлен энергетический спектр первой (основной) и второй (первой возбужденной) минизон, определяемый формулой (2.34).
Для основной минизоны дисперсия энергии по kz имееи вид
E |
(k |
z |
)= E |
− |
∆ cos(k |
d ). |
(2.35) |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7Уравнение Кронига-Пенни.
8Шириной минизоны называется интервал энергии между максимальным и минимальным значением энергии в зоне.
26