6. Основные законы распределения

6.1. Биноминальный закон распределения

Определение.Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения, если она принимает значения0, 1, 2, …,m, …,nс вероятностями

,

(6.1)

где 0 < р< 1,q= 1 –p,m= 0, 1, …,n.

Как видим, вероятности Р(Х=m) находятся по формуле Бернулли. Следовательно, биноминальный закон распределения представляет собой закон распределения числаX=mнаступлений событияАвnнезависимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностьюр.

Ряд распределения биноминального закона имеет вид:

xi	0	1	2	…	m	…	n
pi				…		…

Теорема. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по биноминальному закону

M(X) = np,

(6.2)

а ее дисперсия

D(X) = npq.

(6.3)

Следствие.Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью, равно

,

(6.4)

а ее дисперсия

.

(6.5)

Биноминальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях.

6.2. Закон распределения Пуассона

Определение.Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения0, 1, 2, …,mс вероятностями

,

(6.6)

где m= 0, 1, 2, ….

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

xi	0	1	2	…	m	…
pi				…		…

Теорема.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.

M(X) = λ,

(6.7)

D(X) = λ.

(6.8)

При достаточно больших n(вообще приn→ ∞) и малых значенияхр(р→ 0) при условии, что произведениеnp– постоянная величина (nр→λ=const), закон распределения Пуассона является хорошим приближением биноминального закона. Т.е. приn→ ∞,р→ 0,nр→λ=constзакон распределения Пуассона является предельным случаем биноминального закона. Так как при этом вероятностьрсобытияАв каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона часто называютзаконом редких явлений.

По закону Пуассона распределены, например, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в нормальном режиме, число требований на обслуживание в единицу времени в системах массового обслуживания, и т.п.

Отметим еще, что если случайная величина представляет собой сумму двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона с параметром

λ=λ₁+λ₂.

6.3. Равномерный закон распределения

Определение.Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный законраспределения на отрезке [a; b], если ее плотность вероятности f(x)постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

(6.9)

Кривая распределения f(x) и график функции распределения F(x) случайной величины Х приведены соответственно на рис. 7.1 и рис. 7.2.

Рис. 7.1 Рис. 7.2

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

(6.10)

ее математическое ожидание

,

(6.11)

а дисперсия

.

(6.12)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач теории массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению, и т.д.