- •Министерство транспорта российской федерации
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1. События. Классификация событий
- •1.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •2. Алгебра событий
- •2.1. Действия над событиями
- •2.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.3. Зависимые и независимые события
- •2.4. Теорема умножения вероятностей независимых событий
- •2.5. Вероятность появления хотя бы одного события
- •2.6. Условная вероятность
- •2.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •2.8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •2.9. Формула полной вероятности
- •2.10. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2 Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Формула Пуассона
- •4. Случайные величины
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения случайной величины
- •4.3. Функция распределения случайной величины
- •4.4. Плотность вероятности
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия случайной величины
- •5.3. Среднее квадратическое отклонение случайной величины
- •5.4. Мода и медиана. Квантили
- •Решение. Находим функцию распределения
- •5.5. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •5.6. Числовые характеристики независимых испытаний
- •5.7. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •6. Основные законы распределения
- •6.1. Биноминальный закон распределения
- •6.2. Закон распределения Пуассона
- •6.3. Равномерный закон распределения
- •6.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •6.5 Функция надежности
- •6.6. Нормальный закон распределения
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •7.1. Закон больших чисел
- •7.1.1. Неравенство Чебышёва
- •7.1.2. Теорема Чебышёва
- •7.1.3. Теорема Бернулли
- •7.1.4. Теорема Пуассона
- •7.1.5. Теорема Маркова
- •7.2.Центральная предельная теорема
- •7.2.1. Теорема Ляпунова
- •7.2.2. Теорема Берри-Эссена
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Понятие многомерной случайной величины
- •8.2. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины
- •8.3. Функция распределения многомерной случайной величины
- •8.4. Плотность вероятности двумерной случайной величины
- •8.5. Условные законы распределения двумерной случайной величины
- •8.6. Зависимые и независимые случайные величины
- •8.7. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лаврусь Ольга Евгеньевна Конспект лекций по теории вероятностей
- •443022, Г. Самара, Заводское шоссе, 18
5. Числовые характеристики случайных величин
Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной.
Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.
Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.
Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.
5.1. Математическое ожидание случайной величины
Определение. Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
. |
(5.1) |
Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся х, а вероятность pi – элементом вероятности f(x)dx. Получаем формулу для математического ожидания непрерывной случайной величины (если интеграл абсолютно сходится):
. |
(5.2) |
Рассмотрим свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М(С) = С. |
(5.3) |
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
M(СX) = С·M(X). |
(5.4) |
3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.
М(X Y) = M(X) M(Y). |
(5.5) |
4. Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.
M(XY) = M(X)·M(Y). |
(5.6) |
5. Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
М(X С) = M(X) С. |
(5.7) |
6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:
M[X – M(X)] = 0. |
(5.8) |
Пример 5.1. Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.
Решение. Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим
M(Z) = 8M(X) – 5M(Y) + M(7) = 8·3 – 5·2 + 7 = 21. ◄
Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.
Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.
Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).