26. Понятие о максимине и минимаксе. Необходимое и достаточное условие существования равновесия в чистых стратегиях. Цена игры.

Максимин как и следует из названия, является максимумом, взятым от минимума функции. Соответственно минимакс – минимум, взятый от максимума функции.

Пусть дана функция двух переменных, для которой существует максимум по х и минимум по у. Тогда между максимином и минимаксом существует соотношение: максимин не превосходит минимакс.

Доказательство:

Пусть дана функция и функция .

Так как минимум функции никогда не превосходит максимум (). То есть, для любых х и у выполняется неравенство: .

Точка является седловой точкой функции двух переменных, если имеет место двойное неравенство: . То есть значение функции может лишь уменьшится при фиксированном х и может только увеличиться при фиксированном у.

Для того, чтобы точка была седловой точкой функции, для которой существуют максимум по х и минимум по у, необходимо и достаточно, чтобы максимин этой функции равнялся минимаксу и равнялся значению функции в этой точке.

Матричная форма записи: для того, чтобы пара (i₀,j₀) являлась седловой точкой для элементов матрицы, необходимо и достаточно, чтобы максимин равнялся минимаксу и равнялся соответствующему элементу матрицы ().

Так как ситуация равновесия – это существование седловой точки для данной игры, поэтому необходимое и достаточное условие существования равновесия в чистых стратегиях звучит похоже на ранее сформулированное:

Для того, чтобы для игры существовала ситуация равновесия, необходимо и достаточно, чтобы максимин равнялся минимаксу и равнялся цене игры.

Цена игры – выигрыш первого и проигрыш второго в седловой точке.

27. Определение смешанной стратегии. Математическое ожидание выигрыша первого игрока в случае смешанных стратегий. Определение точки равновесия в смешанных стратегиях.

Каждую из своих стратегий игроки будут выбирать с некоторой вероятностью: нужно определить вероятность выбора каждой стратегии.

p_i – вероятность выбора стратегии i первым игроком.

q_j – вероятность выбора стратегии j вторым игроком.

Смешанной стратегией называется случайная величина, значения которой – чистые стратегии.

Выигрыш – тоже случайная величина (чтобы выиграть нужно, чтобы первый выбрал стратегию i, и второй выбрал стратегию j, т.е. вероятность выигрыша равна произведению вероятностей: ).

Матожидание выигрыша первого игрока . Произведение каждого элемента на каждую вероятность выбора той или иной стратегии.

Также может быть записано как .

– средний выигрыш первого игрока, если дана платежная матрица и векторы вероятностей.

Ситуация ( является ситуацией равновесия в смешанных стратегиях, если выполняется двойное неравенство: . Т.е. если первый сойдет со своей стратегии, то ему будет только хуже, если второй сойдет со своей стратегии, то он проиграет больше.

Для того, чтобы являлась ситуацией равновесия, необходимо и достаточно, чтобы максимин равнялся минимаксу, равнялся цене игры.

Решить игру в смешанных стратегиях значит найти .