Алгоритм метода потенциалов

1. Если не сказано иное, (потенциал первой строки).

Находим значения потенциалов u и v по заполненным клеткам ().

2. Определяем оценки свободных переменных (свободных клеток).

Оценки показывают, насколько изменится целевая функция, если эту клетку сделать заполненной с грузом, равным 1.

21. Признак неоптимальности базисного решения транспортной задачи. Определение цикла. Построение улучшенного решения.

Если при проверке решения на оптимальность методом потенциалов какая-то оценка свободной переменной получилась отрицательной, то решение не является оптимальным, и его можно улучшить, построив цикл распределения.

Для того, чтобы построить улучшенное базисное решение:

1. Находят свободную клетку с отрицательной оценкой (как правило, наибольшая по модулю отрицательная, т.е. самая отрицательная).

Выбранную клетку будем называть «зап» клетка – заполняемая клетка.

2. Строят цикл.

Цикл – замкнутая ломаная линия, которая начинается и заканчивается в «зап» клетке. Звенья параллельны строкам и столбцам таблицы. Вершины – в занятых клетках и в «зап» клетке, все углы прямые.

Звенья цикла могут проходить сквозь занятые клетки, цикл может иметь точки самопересечения в пустых клетках.

Справедлива теорема, что для любого опорного плана и любой свободной клетки всегда можно построить цикл, причем единственным образом (для данной клетки).

3. Выбирают «ос» клетку – освобождаемую клетку.

В вершинах цикла проставляются в чередующемся порядке знаки +/-, начиная со знака + в «зап» клетке.

Не имеет значения направление обхода цикла – по часовой стрелке или против.

В качестве «ос» клетки выбирается клетка с минусом, с наименьшим грузом.

4. Строят новый опорный план.

Груз из «ос» клетки записывается в «зап» клетку и прибавляется во все клетки цикла с плюсом, вычитается из всех клеток цикла с минусом. «Ос» клетка становится пустой.

Таким образом, в новой таблице переменная, соответствующая «зап» клетке стала базисной, а соответствующая «ос» клетке – свободной.

Изменение целевой функции – произведение оценки «зап» клетки на груз из «ос» клетки:

Замечения:

1. Если имеется несколько претендентов на «зап» клетку, то лучше выбрать ту, где стоимость перевозки меньше.

2. Если несколько претендентов на «ос» клетку, то лучше выбрать ту, где стоимость перевозки наибольшая. В оставшуюся клетку с минусом с таким же грузом поставить 0 (вырожденное решение).

3. Если в оптимальном решении есть свободная клетка с нулевой оценкой, то это признак наличия альтернативного решения. Чтобы его найти, нужно эту клетку выбрать в качестве «зап» клетки.

22. Неуравновешенная транспортная задача: постановка и решение. Фиктивные пункты отправления и назначения.

Задача называется неуравновешенной, если не выполняется условие равновесия (баланса). То есть количество груза во всех ПО не равно требуемому грузу во всех ПН.

.

1. Если , т.е. если в ПО груза больше, чем требуется, то нужно ввести фиктивный ПН. В него поместить лишний груз: .

Стоимость перевозки в фиктивный ПН=0 (т.к. этого пункта реально не существует).

2. Если , т.е. если имеется меньше, чем требуется, то вводится фиктивный ПО, из которого вывозится недостающий груз, ().

Стоимость перевозки из фиктивного ПО=0 (этого ПО реально не существует, везти в ПН нечего).

При составлении опорного плана сначала распределяем реальные ПО и ПН, а в фиктивные записываем, что останется.

23. Неуравновешенная транспортная задача с дополнительным условием.

Дополнительное условие может быть двух видов:

1. Условие, что какой-то ПО вывезен полностью (если ).

Нужно запретить маршрут из этого ПО в фиктивный ПН, для этого нужно поставить высокую стоимость перевозки - М (в этот пункт будет невыгодно везти). Стоимость перевозки в остальные фиктивные пункты равна 0.

2. Условие, что какой-то ПН удовлетворен полностью (если .

Аналогично ставим большую стоимость перевозки в этот пункт – М. В остальные фиктивные пункты стоимость перевозки=0.

Заполняем как обычно, но клетку со стоимостью М оставляем пустой. При проверке решения на оптимальность оценка этой клетки будет всегда положительной (М минус сумма потенциалов всегда число положительное, т.к. М – очень велико).

Можно начать заполнять именно с этого доп. условия. То есть сначала по методу наименьшей стоимости заполняем строку или столбец, о котором говорится в доп. условии, потом по методу наименьшей стоимости всю остальную таблицу.

24. Способ задания бескоалиционной игры. Основные понятия (множества игроков, стратегий, ситуаций; функция выигрыша; сумма игры).

В бескоалиционной игре каждый участник преследует только свои интересы.

Число участников игры – I

Множество стратегий игрока – T_i (то, как себя может вести игрок)

Множество ситуаций – S (элементы множества ситуаций являются n-мерным вектором) Ситуации – то, что может произойти во время игры.

Функция выигрыша игрока в конкретной ситуации – H_i(S_j) (что получит игрок, если произойдет то-то и то-то).

Для того, чтобы решить игру, строят платежную матрицу, слева пишут стратегии одного игрока, сверху – другого. в матрице, на пересечении их стратегий записывается возможный выигрыш (или проигрыш), который получит первый игрок, если выберет свою стратегию, соответствующую данной строчке, а его противник – свою стратегию, соответствующую данному столбцу.

Игра с постоянной суммой – – суммы по всем строкам и столбцам равны.

Чтобы задать игру нужно задать множество участников, множество стратегий, выигрыш каждого участника в каждой ситуации.

Игра Г называется эквивалентной игре Г’, если он различаются выигрышем каждого игрока:

Свойства эквивалентных игр:

1. Рефлексивность: игра эквивалентна самой себе

2. Симметрия: если игра Г эквивалентна игре Г’, то и Г’ эквивалентна Г/

3. Транзитивность: если Г эквивалентна Г’, а Г’ эквивалентна Г’’, то Г эквивалентна Г’’.

25. Антагонистическая (матричная) игра. Ситуация равновесия. Ситуация равновесия в чистых стратегиях.

– выигрыш i игрока, когда он применял свою k-стратегию.

– выигрыш i игрока, когда он свою стратегию поменял, а остальные игроки свою стратегию сохранили (игрок поменял свою стратегию в одностороннем порядке).

Ситуация называется приемлемой для игрока, если ему невыгодно в одностороннем порядке менять свою стратегию.

Может быть ситуация, приемлемая для всех игроков сразу – если никому из игроков не выгодно менять свою стратегию в одностороннем порядке.

Ситуация, приемлемая для всех игроков – ситуация равновесия.

Стратегии, входящие в ситуацию равновесия – равновесные стратегии.

Антагонистическая игра – игра двух лиц с нулевой суммой.

Для антагонистической игры можно ввести платежную матрицу.

Элементы платежной матрицы - – выигрыш игрока А в ситуации, когда он выбрал стратегию I, а игрок В – стратегию j.

Если платежная матрица имеет седловую точку, то говорят, что она имеет ситуацию равновесия в чистых стратегиях.

Седловая точка – см. билет 26.

Если матрица имеет седловую точку, то соответствующие стратегии являются равновесными для обоих игроков, соответствующий элемент матричной таблицы – цена игры – равен выигрышу первого в состоянии равновесия и проигрышу второго.

У первого игрока m чистых стратегий. Каждой чистой стратегии соответствуют элементы строки.

У второго игрока n чистых стратегий. Каждой стратегии соответствуют элементы столбца.

Чтобы определить ситуацию равновесия, нужно найти maxmin и minmax. Если они совпадают, то существует равновесная ситуация в чистых стратегиях. Выигрыш равен соответствующему элементу матрицы и равен цене игры.

Оптимальные стратегии – чистые стратегии.

Все равновесные стратегии являются осторожными.

Maxmin – выигрыш, который может гарантировать себе первый игрок независимо от того, что делает второй.

Minmax – то, что может заплатить второй игрок (его проигрыш) при любых действиях первого.

В соответствии с этим maxmin называют нижней ценой игры, а minmax – верхней ценой игры.