3. , 4. Координатами вектора градиента являются цены изделий. Мы можем менять цены, тогда градиент функции будет меняться, вследствие чего оптимальной может стать другая точка.

Для ответа на эти вопросы нужно знать границы изменения градиента, при которых целевая функция не изменяется.

До тех пор, пока вектор градиента находится между нормалями тех линий уровня, пересечение которых указывает на оптимальную точку, то целевая функция не изменится

Для этого нужно рассмотреть 2 ситуации: если мы фиксируем цену первого изделия и если мы фиксируем цену второго изделия.

На графике выше оптимальная точка находится на пересечении l1 и l2, следовательно, и менять вектор градиента можно в пределах их нормалей: N1 и N2.

Проще рассмотреть на цифровом примере, поэтому пусть целевая функция будет равна:

Допустим, зафиксируем цену 1 изделия: . Нам нужно разложить вектор градиента в виде двух векторов: нормаль 1 и нормаль 2.

Вектор нормали – вектор, координатами которого являются коэффициенты перед х в ограничениях.

Пусть ограничения имеют вид:

Тогда вектора нормалей равны: .

Раскладываем вектор градиента: .

Предположим, что λ₁=0. Тогда:

Отсюда можем найти λ₂: .

.

Следовательно,

Теперь предположим, что .

Аналогично:

То есть, если фиксировать с₁, то с₂ может меняться от 3/2 до 4.

Аналогично зафиксируем с₂=3, проделаем все то же самое для с₁, получим те же цифры: 3/2, 4.

На графике это можно представить в виде изменения вектора градиента в определенной области (левая пунктирная стрелочка – градиент с координатами 1;2, правая – 4;3). При таком положении градиента оптимальная точка не изменится.

Соответственно, если цену менять больше чем на получившийся промежуток, то оптимальная точка станет другой.

Все это можно сделать не графически, а табличным способом.

18. Постановка транспортной задачи. Необходимое и достаточное условие существования допустимого решения транспортной задачи.

Введем некоторые обозначения:

ПО_i – пункты отправления груза.

ПН_j – пункты назначения.

a_i – количество груза, имеющееся в ПО_i.

b_j – количество груза, которое требуется ПН_j.

с_ij – тариф (стоимость перевозки единицы груза из ПО в ПН).

х_ij – количество груза, перевозимое из ПО в ПН.

В общем виде транспортная задача задается так:

(нам нужно перевести груз с минимальными затратами, поэтому задача на минимум).

Ограничения:

Чтобы все ПО были вывезены, а все потребности ПН были удовлетворены, ограничения задаются в виде равенств. При этом если количество груза во всех ПО совпадает с количеством груза, которое требуется всем ПН, то задача является уравновешенной (сбалансированной).

– условие равновесия (груз во всех ПО=потребностям всех ПН).

Для того, чтобы транспортная задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса (равновесия).

Необходимо: Дано: задача имеет решение.

Доказать: выполняется условие равновесия.

Доказательство: Если задача имеет решение, то существует такой Х, что выполняются ограничения:

Просуммируем первое ограничение по строкам (сумма по i), второе по столбцам (сумма по j).

Получим:

.

.

Во втором уравнении поменяем местами сумму по i и по j. Тогда левые части двух уравнений будут одинаковы, а следовательно и правые части равны между собой:

Достаточно: Дано: выполняется условие равновесия.

Доказать: задача имеет решение.

В качестве возьмем выражение .

Подставим в первое ограничение и вынесем а_i за скобку:

.

Выражение в скобке равно единице, так как выполняется условие равновесия.

Подставим во второе ограничение:

.

Таким образом, сбалансированная (уравновешенная) транспортная задача всегда имеет решение.

19. Признаки базисного решения. Нахождение базисного решения методом северо-западного угла и методом наименьшей стоимости.

При решении задач линейного программирования симплекс-методом число базисных переменных равнялось числу ограничений. В транспортной же задаче переменных всего m*n, из них базисных – m+n-1, где m – число ПО, n – число ПН.

Признаки базисного решения:

1. Все ПО вывезены полностью;

2. Потребности всех ПН удовлетворены полностью;

3. Число занятых клеток в таблице=m+n-1;

4. Выполнено условие связности;

Условие связности не выполняется, если есть занятая клетка, но ни в ее строке, ни в ее столбце нет других занятых клеток.

5. Нет замкнутых циклов.

Замкнутый цикл – какие-то занятые клетки образуют вершины четырехугольника.

Базисное решение находится либо методом северо-западного угла, либо методом наименьшей стоимости.