![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
- •Свойства функций:
- •1) Общие свойства
- •2) Односторонняя непрерывность
- •3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции
- •(2)Непрерывность элементарных функций
- •1) Основные элементарные функции
- •(3) Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях
- •(4) Открытые и замкнутые множества на числовой прямой
- •2) Признаки открытости и замкнутости множеств
- •(5)Компакт.Критерии компакта.
- •(6)Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •1) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях
- •(8)Классификация разрывов функции
- •1) Формула для приращения функции
- •3) Производная сложной функции
- •(12)Связь между существованим производной и касательной
- •1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
- •Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
- •3) Связь между дифференциированностью, наличием конечной производной и непрерывностью
- •3)Дифференциал сложной функции и его эквивалентность.
- •(15)Производные высших порядков.Формула Лейбница.
- •1)Понятие производной высшего порядка
- •3)Формула Лейбница для производных высшего порядка от произведения
- •(24) Признаки монотонности и постоянства функций
- •(25)Правило Лопеталя
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •(30) Асимптоты к графику функции.Построение графиков с использованием производных.
- •Построение графика функции с использованием производных:
(24) Признаки монотонности и постоянства функций
1) Теорема1:
Если f(x)
– непрерывна
на <a,b>
и
,
тоf(x)=const
на <a,b>.
Доказательство:
Фиксируем
на<a,b>,
из <a,b>
рассмотрим разность f(x)-f(
)=(По
формуле конечных приращений Лагранжа)=
f(x)=f(
)
f
(
)=const.
2)Теорема2: Пусть f(x) непрерывна на <a,b>, тогда:
1)Если
в(a,b),
то f(x)
возрастает
(убывает) в [a,b]
2)Если
в(a,b),
то f(x)
строго
возрастает (строго убывает) в [a,b]
Доказательство:
Пусть
;
возьмём
,
(a,b),
рассмотрим
разность
(По
формуле конечных приращений Лагранжа)=
,
так как
и
,
то есть функция возрастает.
Геометрический смысл теоремы 2:
Если
,
то касательная везде образует
положительный (острый) угол с осью Ох,
функция идёт вверх (возрастает).
Теорема3:
(Необходимый признак монотонности)
Если f(x)
возрастает
(убывает) в
и
,
то
.
Доказательство:
Пусть f(x)
возрастает, если бы
,
то по Лемме (Если
внутренняя точка, то при
,
функция строго возрастает в
,
а когда
,
функция строго убывает)
чтоf(x)
строго
убывает в
,
что противоречит условию.
Замечание: Из
того, что f(x)
строго возрастает в
,
еще не следует что
(может
быть
).
(25)Правило Лопеталя
1)При
вычислении пределов, встречаются
неопределенности разных типов: 1),
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
.
Принципиально
все эти неопределенности сводятся к
(
1)f(x)+g(x)=
=
:
)
можно
рассмотреть один основной случай.
2)
Теорема1:
Пусть f(x)
и g(x)
определены на [a,b]
,
и :
1)
конечные
2)
g(x)
ине равны 0 в точкеа
3)
тогда,
(1)
Доказательство:
Так как
и конечны, то функцииf(x)
и
g(x)
непрерывны в точке а,
тогда в силу непрерывности и условия
3
имеем
,
,
так как
,
то
в некоторой окрестности точкиа
так, что отношение
= (
)=
,
получаем что,
.
Пример:
=
Если
одновременно выполняется что,
,
то можно воспользоваться теоремой2.
Теорема2: Пусть f(x) и g(x) определены в <a,b> и,
1)
конечные
производныеf(x)
и
g(x)
до n-1
порядка, включительно, в <a,b>
2)
3)
,
4)
конечные
,
,
причем
тогда
Доказательство:
Применим к
каждой из функций
f(x)
и g(x)
в промежутке
[a,x]
(a<xb)
формулу Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано,
,
где
-
бесконечно малая функция того же
порядка, что и
.f(x)=f(a)+
+
+…+
,
согласно 2 и 3 все, кроме последнего
члена равно 0
.
,
,так
как
,
тоg(x)
тоже не равно
0, по крайней мере, в некоторой окрестности
точки а,
и тогда отношение
имеет смысл, тогда
.
Пример:
=
=0.
,
.
,
.
,
.
Теорема2 фактически говорит о том, что правило Лопеталя можно применять конечное число раз.
Теоремы1
и 2 достаточно для раскрытия
неопределенности,
но практически удобнее использовать
теорему3.
Теорема3: Пусть f(x) и g(x) определены в <a,b>
1)
конечные
,
причем
2)
или
3)
конечный
или бесконечный
,
тогда
.
Таким образом, теорема3 сводит предел отношения двух функций к пределу отношения производных, если последние существуют.
Часто оказывается, что нахождение предела отношением производных проще и может осуществляться элементарными методами.
Пример:
1)=
=
=
2)
=
3)
=
=(Если
,
то еще раз применяем правило Лопеталя)=
Вывод:
При
логарифмическая функция возрастает
гораздо медленнее, чем любая положительная
степеньx,
а последняя в свою очередь гораздо
медленнее, чем показательная.
(26)Экстремумы функции: необходимый признак и первый достаточный признак.
1)
Пусть
задана на
.
Если
- внутренняя точка обл определения
функции, то в этой точке функция имеет
максимум (минимум) если
Этот максимум (минимум) будет строгим, если неравенства строгие.
Замечание:
Точки экстремума (макс., мин.) по определению рассматриваются лишь во внутренних точках, в литературе иногда говорят о краевых экстремумах