- •(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
- •Свойства функций:
- •1) Общие свойства
- •2) Односторонняя непрерывность
- •3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции
- •(2)Непрерывность элементарных функций
- •1) Основные элементарные функции
- •(3) Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях
- •(4) Открытые и замкнутые множества на числовой прямой
- •2) Признаки открытости и замкнутости множеств
- •(5)Компакт.Критерии компакта.
- •(6)Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •1) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях
- •(8)Классификация разрывов функции
- •1) Формула для приращения функции
- •3) Производная сложной функции
- •(12)Связь между существованим производной и касательной
- •1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
- •Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
- •3) Связь между дифференциированностью, наличием конечной производной и непрерывностью
- •3)Дифференциал сложной функции и его эквивалентность.
- •(15)Производные высших порядков.Формула Лейбница.
- •1)Понятие производной высшего порядка
- •3)Формула Лейбница для производных высшего порядка от произведения
- •(24) Признаки монотонности и постоянства функций
- •(25)Правило Лопеталя
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •(30) Асимптоты к графику функции.Построение графиков с использованием производных.
- •Построение графика функции с использованием производных:
(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
Определение 1:
Функция называется непрерывной в точкеотносительно множества, если
Замечание 1:
Если в точке функция непрерывна, то в силу свойств предела она однозначна, поэтому в дальнейшем непрерывные функции будем считать однозначными.
Замечание 2:
Если понятно относительно какого множества непрерывность, то это множество не указываем.
Определение 2:
Функция называется непрерывной в точкеотносительно множества, если
Замечание:
В данном случае не обязательно требовать, чтобы , т.к. привыполняется автоматически.
Определение 3:
Функция называется непрерывной в точкеотносительно
множества , если
Пусть , обозначим,тогда
тогда по определению 1 функция непрерывна в точке относительно, когда
,
Если функция непрерывна в каждой точке множества , то говорят, что функция непрерывна на множестве
Свойства функций:
1) Общие свойства
1 св.) Пусть непрерывна в точкеотносительно множества,, тогданепрерывна в точкео тносительно множества
Доказательство:
2 св.) непрерывна в точкеотносительно множестваравносильно непрерывности функции в точкеотносительно
Доказательство:
По §3.4 св. 5
3 св.) Пусть ,, тогда непрерывность относительноравносильна непрерывности в точкекак относительно, так и
Замечание:
Если точка в св. 3 является предельной только для одного из множестви, то непрерывность относительноравносильна непрерывности относительно именно в этой точке.
4 св.) (предельный переход под знаком непрерывности функции)
1. Если непрерывна в точкеотносительно,
2. ,
тогда или
Следствие:
(теорема о непрерывности сложной функции)
1. Если непрерывна в точкеотносительно множества,,
2. непрерывна в точке,,
тогда непрерывна в точкеотносительно множества
5 св.) Если непрерывна в точкеотносительно множества,тоже непрерывная функция в точкеотносительно множества
Доказательство:
По §3.7 следствие теоремы о двух милиционерах
6 св.) (непрерывность результатов арифметических действий на непрерывных функциях)
Если инепрерывны в точкеотносительно множества, то:непрерывны в точке, относительно множества
(следует из §3.6 и определения непрерывности)
Следствие:
Многочлен и дробно-рациональные функции непрерывны во всех точках своей области определения.
Доказательство:
непрерывна непрерывеннепрерывен. Т.к. каждый многочлен – непрерывная функциятоже непрерывна
2) Односторонняя непрерывность
Определение:
называется непрерывной в точке относительно множествасправа (слева), еслинепрерывна в точкеотносительно множества
Теорема:
Пусть , тогда для того чтобы функция была непрерывна в точкеотносительно, необходимо и достаточно чтобы она была непрерывна в точкеи справа и слева
Доказательство:
По §3.4, св. 6
3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции
Теорема 1:
(о непрерывности монотонной функции)
Если: 1)монотонна на
2) область значений есть промежуток,
тогда непрерывна во всех точках предельной для нее
Доказательство:
, докажем непрерывность в точке слева и справа.
Слева (справа):
Пусть ,- возрастает. По теореме о пределе монотонной функции:(1). Т.к.возрастает(2). Покажем, что в неравенстве (2) знак «» не имеет места. Пусть, тогда для(а такие есть)(3) т.к. возрастает, а для(4). Из (3),(4) следует, что функция принимает значенияи не принимает значения на промежутке. Это противоречит тому, что по условию значение функции – промежутокв (2) меньше быть не может.
Лемма:
Функция обратная к строго монотонной (однозначная) однозначна и строго монотонна в том же направлении.
Доказательство:
Пусть строго возрастает на множестве. Рассмотрим обратную к ней
(- область значений)точка. Т.к.строго возрастает, то. Возьмёмиз,,. Если бы, тогда- функция строго возрастает
Теорема 2:
(о непрерывности функции обратной к строго монотонной)
Функция обратная к строго монотонной, определённой на промежутке непрерывна во всех точках своей области определения.
Доказательство:
Функция определена на промежутке и строго монотонна.по леммеоднозначна и монотонна на, а область значенийпо теореме 1непрерывна.