![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
- •Свойства функций:
- •1) Общие свойства
- •2) Односторонняя непрерывность
- •3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции
- •(2)Непрерывность элементарных функций
- •1) Основные элементарные функции
- •(3) Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях
- •(4) Открытые и замкнутые множества на числовой прямой
- •2) Признаки открытости и замкнутости множеств
- •(5)Компакт.Критерии компакта.
- •(6)Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •1) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях
- •(8)Классификация разрывов функции
- •1) Формула для приращения функции
- •3) Производная сложной функции
- •(12)Связь между существованим производной и касательной
- •1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
- •Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
- •3) Связь между дифференциированностью, наличием конечной производной и непрерывностью
- •3)Дифференциал сложной функции и его эквивалентность.
- •(15)Производные высших порядков.Формула Лейбница.
- •1)Понятие производной высшего порядка
- •3)Формула Лейбница для производных высшего порядка от произведения
- •(24) Признаки монотонности и постоянства функций
- •(25)Правило Лопеталя
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •(30) Асимптоты к графику функции.Построение графиков с использованием производных.
- •Построение графика функции с использованием производных:
(8)Классификация разрывов функции
1) Функция
разрывна в
,
когда
либо не существует, либо существует но
не равен
Пусть
существует. В этом случае разрыв называют
устранимым (назначают в
значение р)
Пример:
2) Пусть
не существует
- внутренняя точка
,
тогда непрерывность в
означает
непрерывность как слева так и справа
разрывность в
означает наличие разрыва хотя бы с
одной стороны.
Определение:
Функция
имеет в точке
справа (слева) разрыв первого рода, если
и разрыв второго рода, если этот
односторонний предел не существует
или бесконечен.
Пример:
Определение:
Двусторонний разрыв называется разрывом первого рода, если односторонние разрывы только первого рода и второго рода в противном случае.
(9)Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции.
1) Задачи, приводящие к понятию производной.
1. Пусть материальная
точка m
движется вдоль направления прямой S,
по закону S(t),
в момент
времени
точка находилась в
,
через время
(т.е.
в момент времени
)
точка переместилась
,
мгновенной скоростью движения в момент
равный
,
назовём
.
2. Пусть имеется плоская кривая l,
Определение:
предельное положение секущей при
,
называется касательной кl
в точке
,
т.е. если
между секущей и некоторой кривой
стремится к определённому пределу
,
при расстоянии между
,
то прямую проходящую через
называют касательной.
Задача:
Пусть кривая
l
задаётся
функцией y=f(x),
допустим,
сто в точке
к
ней существует касательная, причем
наклонная(т.е. составляет с положительным
направлением оси угол
)
;
,
-угол
наклона касательной, значит
Итак, в разных задачах пришли к решению однотипных задач.
2) Понятия.
Пусть y=f(x),
Определение:
производной функции f(x)
в точке
наз.
(вводя
)
.
формула(1)- физический смысл производной,
формула (2)- геометрический.
Производные:
1)
2)
Функция имеет смысл. Берём
фиксируем
,;
3);
;
4)
,
,
;
5);
;
;
(10)Основные правила вычисления производных:формула для приращения функции, производная результатов арифметических действий.
1) Формула для приращения функции
Пусть f(x)
имеет конечную производную в точке
,
,
-
б.м.ф. по сравнению с
.
Формула
для приращения функции, для любого
.
Следствие из
(1): Если f(x)
имеет конечную
производную в точке
то
она непрерывна в
.
Док-во:
Непрерывность на языке приращения
означает, что
т.е. приращение при
Теорема:
(о производной результатов арифметических
действий) Если f(x),g(x):
Е →R
и в точке
имеют конечные производные, то:
1)
2)
3),
Док-во:
обозначим через
,
зададим
приращ.
,
при этомf(x),g(x)
получат
тогда:
;
Следствие1: (из теоремы 1 пункт)
Следствие2:
Следствие3:
константу модно выносить за знак
производной:
,
(11)Основные правила вычисления производной: производная обратной функции, производная сложной функции.
Производная обратной функции
Теорема: Пусть f(x): Е →R, если
1) существует однозначная, обратная и f(x) функции,
2) существует
конечная производная
и
непрерывна,
,
то существует
Док-во:
фиксируем точку
,
дадим ей приращение
,
и рассмотрим
Геометрический
смысл теоремы:
Рассмотрим функцию
в отрезке
.
Обратная функция
,
,
;
;
;