Нормировочная постоянная микроканонического распределения

В выражение для нормировочной постоянной (2.8)

подставляем (2.10)

,

­получаем

.

Фильтрующее свойство дельта-функции снимает интеграл и дает

. (2.11а)

Следовательно, нормировочная постоянная микроканонического распределения равна энергетической плотности состояний.

Микроканоническое распределение

Из распределения (2.7)

и (2.11а) получаем плотность вероятности обнаружения микросостояний системы около точки X фазового пространства

. (2.11б)

Получим выражения для числа микросостояний с определенной энергией и энергетической плотности состоянийдля газа изN частиц и для отдельной частицы .

Число микросостояний газа

Для газа из N частиц, находящихся в элементе объема фазового пространства , число микросостояний равно безразмерному объему (2.2)

.

Интегрируем и получаем число микросостояний в объеме фазового пространства

.

Микросостояния с фиксированной энергией E находятся на гиперповерхности , где– гамильтониан системы. Число состояний внутри гиперповерхности

. (2.12)

При отсутствии внешнего силового воздействия координаты и импульсы частиц не зависят друг от друга, тогда интегрирования разделяются

, (2.13)

где

–объем сосуда, в котором находится газ;

;

–объем импульсного пространства, доступный для N частиц газа.

Для идеального изолированного классического газа с потенциальной энергией и массами частицm, не зависящими от направления, полная и кинетическая энергии постоянны и связаны с импульсами дисперсионным соотношением

.

В импульсном пространстве получаем уравнение сферы

.

Микросостояния идеального газа с полной энергией Е и потенциальной энергией находятся в импульсном пространстве на сфере радиусом . Импульсное пространство имеет размерность . Согласно примеру 2.1 объем -мерного шара радиусомp

.

Для газа из N частиц в объеме с полной энергиейиз (2.13)

получаем число микросостояний

. (2.14)

Число микросостояний частицы

Для частицы обобщенные координаты q и импульсы p связаны с энергией дисперсионным соотношением

.

Микросостояния с фиксированной энергией находятся в 2f-мерном фазовом пространстве на гиперповерхности . Число состояний внутри гиперповерхности получаем из (2.12)

при

. (2.15)

Рассмотрим степенную зависимость энергии от импульса

,

где s и t – вещественные числа; p – модуль импульса. Фиксируем энергию и координаты, тогда в f-мерном импульсном пространстве получаем сферой радиусом

.

Интеграл по импульсам в (2.15) равен объему f-мерного шара

.

Результат интегрируем по координатам области, ограниченной поверхностью ,и из (2.15) в виде

получаем

. (2.16)

Если энергия частицы, находящейся в объеме , зависит от импульса и не зависит от координат

, ,

тогда в (2.15)

интегрирования по координатам и импульсам разделяются. Получаем число состояний частицы с энергией ε

, (2.17)

где – объем импульсного пространства, ограниченный гиперповерхностью.

Для частицы с законом дисперсии

,

где s, t и u – вещественные числа, модуль импульса . Используем объем шара

,

и из (2.17) при получаем

. (2.18)

В частности, для :

: ; (2.18а)

: ; (2.18б)

: , (2.18в)

где ,,– длина, площадь и объем, занятые одномерным, двухмерным и трехмерным газом, соответственно. В (2.18а) множитель 2 учитывает два направления импульса одномерного движения.