![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Классическая статистическая физика Основные положения
- •Фазовое пространство системы частиц
- •Число степеней свободы
- •«Вымерзание» степеней свободы
- •Размерность фазового пространства
- •Число микросостояний в элементе объема Элемент объема фазового пространства равен
- •Объем и площадь n-мерной сферы
- •Фазовая траектория
- •Фазовый ансамбль
- •Теорема Лиувилля
- •, . (2.5)
- •Следствия теоремы Лиувилля
- •Пример. Идеальный газ двухатомных молекул
- •Микроканоническое распределение Основные понятия и определения
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Энергетическая плотность состояний
- •Пример энергетической плотности состояний
- •Нормировочная постоянная микроканонического распределения
- •Микроканоническое распределение
- •Число микросостояний газа
- •Число микросостояний частицы
- •Энергетическая плотность состояний газа
- •Энергетическая плотность состояний частицы
- •Характеристики макросостояния
- •Вариация числа микросостояний при изменении объема
- •Статистический смысл давления
- •Соотношение между статистическими и термодинамическими характеристиками
- •Статистический смысл температуры
- •Статистический смысл энтропии
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Каноническое распределение
- •Распределение микросостояний газа по энергии
- •Макрохарактеристики и статистический интеграл
- •Принцип Ландауэра
- •Статистический интеграл поступательного движения
- •Статистический интеграл колебательного движения
- •Статистический интеграл вращательного движения
- •Теорема Бора – Ван-Лёвен
- •Распределение тепловой энергии по степеням свободы
- •Примеры
- •Вопросы коллоквиума
Распределение тепловой энергии по степеням свободы
Равновесный
газ с фиксированными
обменивается энергией с термостатом.
Микросостояния газа имеют разные
энергии, энергия частицы хаотически
меняется с течением времени. Макросостояние
не зависит от времени, средняя тепловая
энергия частицы газа постоянна, зависит
от температуры, от числа степеней свободы
частицы и от ее гамильтониана.Если
степени свободы частицы входят в
гамильтониан симметрично, то на каждую
степень свободы приходится одинаковая
тепловая энергия, пропорциональная
температуре.
Теорему
предложил Уотерстон в 1845 г., количественное
выражение дал Максвелл в 1860 г. и Больцман
в 1868 г. Теорема не применима для квантовых
систем.
Джон Джеймс Уотерстон (1811–1883)
Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879)
Людвиг Больцман (1844–1906)
Используя гамильтониан, найдем средние значения кинетической, потенциальной и полной энергий частицы, обусловленные тепловой энергией.
Гамильтониан частицы характеризует ее микросостояние. Рассмотрим частицу с f степенями свободы и с гамильтонианом, зависящим от модуля проекций импульса и от проекций координаты степенным образом:
,
(2.103)
где
–число
активизированных степеней свободы с
кинетической энергией
и с импульсами в пределах
;
;
–число
активизированных степеней свободы с
потенциальной энергией
и с координатами в пределах
;
.
Получим средние по фазовому ансамблю значения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы при температуре Т.
Средняя энергия частицы складывается из кинетических и потенциальных составляющих вдоль ортогональных осей. Среднюю полную энергию частицы выражаем через статистический интеграл согласно (2.94)
.
(2.104)
В статистическом интеграле (2.81)
с гамильтонианом (2.103) все интегралы расцепляются, получаем произведение независимых интегралов для каждой активизированной степени свободы
.
Кинетическая и потенциальная составляющие статистического интеграла частицы равны
,
,
(2.105)
Используем
,
где
,
,
вычисляем интегралы
,
,
где
,
.
С учетом
,
из (2.104)
находим
.
Разделяем вклады разных видов энергии и степеней свободы
,
.
(2.106)
Для
,
,
учитываем
,
,
,
.
Получаем
,
.
Величины
и
не зависят отi
и j,
следовательно, выполняется теорема о
равном распределении тепловой энергии
по активизированным степеням свободы.
С учетом всех степеней свободы находим
,
.
В результате средние значения потенциальной, кинетической и полной энергий частицы пропорциональны температуре
,
,
.
(2.107)
Газ
в ограниченном объеме.
Если координата ограничена
,
то потенциальная составляющая (2.105)
статистического интеграла частицы равна
.
Результат
из (2.107) не применим, выражение
можно использовать, если
.
Рассмотрим газ в сосуде размером A по оси j, вдоль которой действует однородное потенциальное поле
,
например,
электрическое или гравитационное. Тогда
верхний предел интеграла
,
и получаем
.
Из (2.106)
находим среднюю потенциальную энергию частицы при температуре Т
.
(2.108)
Тепловое движение разбрасывает частицы газа равномерно по всему объему. Этому противостоит внешнее поле, действующее с силой
,
направленной
при
в сторону уменьшения координатыx.
При
низкой температуре силовое действие
преобладает над тепловой энергией
,
тогда из (2.108) получаем
.
(2.109)
Следовательно,
и частицы благодаря действию силы
оказываются около стенки сосуда при
.
Стенку при
можно считать расположенной на
бесконечности и результат совпадает с
(2.107)
при
.
С
увеличением температуры тепловое
движение растет и средняя координата
увеличивается. При высокой температуре
используем разложение
,
и из (2.108)
находим
,
(2.110)
тогда
.
При
тепловое движение преобладает над
силовым полем и разбрасывает частицы
с равной вероятностью по всему объему,
среднее положение частицы совпадает с
серединой сосуда.