![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Классическая статистическая физика Основные положения
- •Фазовое пространство системы частиц
- •Число степеней свободы
- •«Вымерзание» степеней свободы
- •Размерность фазового пространства
- •Число микросостояний в элементе объема Элемент объема фазового пространства равен
- •Объем и площадь n-мерной сферы
- •Фазовая траектория
- •Фазовый ансамбль
- •Теорема Лиувилля
- •, . (2.5)
- •Следствия теоремы Лиувилля
- •Пример. Идеальный газ двухатомных молекул
- •Микроканоническое распределение Основные понятия и определения
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Энергетическая плотность состояний
- •Пример энергетической плотности состояний
- •Нормировочная постоянная микроканонического распределения
- •Микроканоническое распределение
- •Число микросостояний газа
- •Число микросостояний частицы
- •Энергетическая плотность состояний газа
- •Энергетическая плотность состояний частицы
- •Характеристики макросостояния
- •Вариация числа микросостояний при изменении объема
- •Статистический смысл давления
- •Соотношение между статистическими и термодинамическими характеристиками
- •Статистический смысл температуры
- •Статистический смысл энтропии
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Каноническое распределение
- •Распределение микросостояний газа по энергии
- •Макрохарактеристики и статистический интеграл
- •Принцип Ландауэра
- •Статистический интеграл поступательного движения
- •Статистический интеграл колебательного движения
- •Статистический интеграл вращательного движения
- •Теорема Бора – Ван-Лёвен
- •Распределение тепловой энергии по степеням свободы
- •Примеры
- •Вопросы коллоквиума
Примеры
Среднее значение кинетической энергии свободной частицы при температуре T.
Частица
трехмерного газа при температуре T,
движущаяся поступательно вдоль оси
,
имеет составляющую кинетической энергии
,
.
Сравниваем с (2.103)
,
находим
,
,
.
Из (2.107)
получаем
.
(П.4.1)
Для классического равновесного газа при температуре Т на каждую поступательную степень свободы частицы приходится тепловая кинетическая энергия
.
Энергия линейного гармонического осциллятора при температуре Т.
Гамильтониан
,
,
сравниваем с (2.108)
,
получаем
,
.
Из (2.107)
,
,
находим
,
,
.
На линейное гармоническое колебание при температуре Т приходится тепловая энергия kT, которая складывается из кинетической и потенциальной энергий.
Молярная теплоемкость трехмерного, двухмерного и одномерного простого тела при температуре Т.
Простое вещество состоит из атомов одного химического элемента. Кристаллическая трехмерная решетка удерживает атом в узле потенциальным полем. Узел является трехмерным гармоническим осциллятором с гамильтонианом
.
Сравнение с (2.103)
дает
,
.
Из (2.107) получаем среднюю тепловую энергию атома
.
Число
узлов в моле кристалла равно числу
Авогадро
.
Внутренняя энергия моля
,
где R – универсальная газовая постоянная. Молярная теплоемкость
.
(П.4.2)
Простые твердые тела обладают одинаковой, не зависящей от температуры молярной теплоемкостью – закон Дюлонга и Пти (1819 г.). Закон не применим при низкой температуре и для объектов, где существенны квантовые явления.
Пьер Дюлонг (1785–1838) Алексиз Пти (1791–1820)
Пленка атомарной толщины образует двухмерную кристаллическую решетку, тогда
,
,
.
Закон Дюлонга и Пти получает вид
.
Проволока атомарной толщины образует одномерную кристаллическую решетку, тогда
,
,
.
Молярная теплоемкость
.
Флуктуация разности потенциалов в резисторе, вызванная хаотическим тепловым движением.
Колебательный контур содержит резистор R. Внешний сигнал вызывает в контуре колебания. Напряжение с конденсатора С подается на усилитель сигналов У и далее на регистратор в виде осциллографа, как показано на рисунке. Усилитель имеет обратную связь и пропускает колебания с напряжением, превышающим некоторое пороговое значение. Оно является минимальным сигналом, который регистрирует устройство. Для устранения зашумленности полезного сигнала пороговое значение должно превышать величину флуктуации напряжения, вызванную тепловым движением зарядов в резисторе. Найдем эту величину.
Колебательный контур LCRс усилителемУ
Хаотическое
движение электронов в резисторе R
создает кратковременный ток, конденсатор
заряжается, в контуре возникают колебания.
Из определения электроемкости
получаем связь между среднеквадратичными
значениями заряда и напряжения
.
Конденсатор рассматриваем как одномерную систему с энергией
,
,
где заряд Q аналогичен импульсу. Сравниваем с (2.103)
,
находим
,
.
Из (2.107)
получаем среднюю тепловую энергию колебательного контура
.
Находим
и флуктуацию напряжения
.
Чем выше температура и меньше электроемкость колебательного контура, тем больше флуктуация напряжения на конденсаторе.
Параметры
колебательного контура
выражаем через ширину частотной полосы
пропускания сигнала
и реактивное сопротивлениеX
контура
,
.
Мощность,
передаваемая от контура к усилителю,
достигает максимума
при
согласованной нагрузке, когда входное
сопротивление потребителя, то есть
усилителя
,
равняется сопротивлению источникаX.
Получаем
,
тогда
и флуктуация напряжения
.
Для
приемника с полосой пропускания
,
с входным сопротивлением
и температурой
получаем флуктуацию напряжения на входе
усилителя
,
что ограничивает его предельную
чувствительность.
Джонсон в 1927 г. подключил резистор к входу усилителя и наблюдал на выходе флуктуацию разности потенциалов. Он обнаружил, что в диапазоне акустических частот дисперсия разности потенциалов теплового шума пропорциональна сопротивлению и температуре резистора
.
Джон Бертранд Джонсон (1887–1970)
Флуктуационная ЭДС активного сопротивления.
Электроны
в проводнике длиной l
образуют идеальный газ. Хаотические
тепловые движения газа разлагаем в ряд
Фурье. Коллективные перемещения
электронов вдоль проводника рассматриваем
как стоячие волны смещений газа от
равномерного распределения со всеми
возможными длинами волн. На концах
проводника электроны не выходят за его
пределы и возникают узлы смещений. В
результате продольные смещения газа
имеют дискретный спектр и являются
суммой стоячих волн
,
показанных на рисунке.
Стоячие волны смещений газа
в проводнике
Смещения
электронов создают разность потенциалов
на концах проводника. Найдем флуктуацию
напряжения, рассматривая волны как
линейные гармонические осцилляторы и
учитывая, что при температуре T
средняя тепловая энергия осциллятора
равна
.
Ищем
число волн в интервале частот
.
Узлы на концах проводника означают, что
на длине проводникаl
укладывается целое число полуволн
,
тогда
,
,
где λ – длина волны. Из рис. видно, что n есть число независимых волн в проводнике. C учетом двух проекций спина электрона получаем число волн в интервале частот (0,)
,
где
;V
– скорость волны. Дифференцируем
равенство и находим число волн в интервале
частот d
.
Каждая
волна является линейным гармоническим
осциллятором с тепловой энергией
,
тогда энергия
волн
.
Время
распространения волны по проводнику
,
тепловая мощность перемещения электронов
связана с ЭДС законом Джоуля–Ленца
.
Для среднего квадрата фурье-компоненты флуктуационной ЭДС на частоте получаем формулу Найквиста
.
(П.4.4)
Результат установил в 1928 г. Найквист – один из основателей теории информации.
Гарри Найквист (1889–1976)
При
ЭДС слабо зависит от частоты и в спектре
флуктуаций присутствуют все частоты –
флуктуации имеют «белый спектр». Из
(П.4.4) находим флуктуацию напряжения на
концах проводника
,
(П.4.5)
где
– полоса частот, регистрируемая
измерителем сигналов. Полученное
выражение близко к (П.4.3) из предыдущего
примера с колебательным контуром.
Формулы (П.4.3) и (П.4.5) применимы, если не
существенны квантовые эффекты, то есть
при относительно высокой температуре
,
где
– максимальная частота в полосе.
При
получаем
.
Из (П.4.5) следует, чтоустройство,
имеющее в своей электрической цепи
диссипативный элемент – активное
сопротивление, является источником
теплового электрического шума. При этом
чисто реактивные системы не шумят.
Полученные результаты являются следствием флуктуационно-диссипационной теоремы. В частности она утверждает, что если есть диссипация энергии, то существует и флуктуации энергии.
Среднее значение потенциальной энергии при температуре Т.
Потенциальная энергия частицы описывается слагаемым гамильтониана
,
(П.4.11)
где
;
.
Найти среднее значение потенциальной
энергии частицы при температуреT.
Вычисляем потенциальную составляющую статистического интеграла (2.105)
,
где использовано
.
Получаем
.
Из (2.106)
находим
.
(П.4.12)
При
потенциальная энергия получает сдвиг
аргумента
,
.
(П.4.13)
Из (П.4.12) находим
.
(П.4.14)
В
результате сдвиг аргумента потенциальной
энергии частицы
не изменяет ее среднего значения при
температуреT.
7. Неустранимая погрешность пружинных весов.
Требуется найти гравитационную массу тела m и неустранимую погрешность измерения массы при помощи весов, работающих на основе упругой силы с коэффициентом жесткости κ при температуре Т.
Тело
подвешивается на пружину в однородном
поле тяжести с ускорением свободного
падения g,
как показано на рис. 2.15. Пружина
растягивается на величину
.
Если тело неподвижно, то проекции силы
тяжести
и упругой силы
,
уравновешены
.
Рис.2.15. Весы на основе упругой силы
Измеряя
растяжение пружины
,
получаем гравитационную массу тела
,
где чувствительность весов
.
Чем меньше коэффициент жесткости, тем выше чувствительность весов и тем сильнее реагирует система на возмущение.
Хаотические
тепловые движения молекул пружины, тела
и окружающего воздуха приводят к
микроколебаниям указателя весов около
среднего значения
.
Невозможно снять показания прибора с
точностью, меньшей средней амплитуды
хаотических колебаний указателя, равной
флуктуации
,
где
.
Найдем
,
используя теорему о распределении
энергии по степеням свободы. Система
одномерная, на тело действует результирующая
сила с проекцией
,
тогда потенциальная энергия
,
.
Сравнение с (П.4.11)
дает
,
,
.
Из (П.4.12)
получаем
.
В
последнем равенстве использовано
.
Сравнивая второе и последнее выражения
после умножения на 2
.
С
учетом
находим
,
.
В результате минимальная абсолютная погрешность измерения массы
.
Погрешность
измерения уменьшается при понижении
температуры и увеличении чувствительности
весов.
Используя частоту
свободных колебаний системы
,
находимотносительную
погрешность измерения
.
При
,
,
,
получаем
.
Неустранимая погрешность пружинных весов (упрощенное описание).
Макрохарактеристика равновесной системы постоянна только в среднем. Ее флуктуация вызвана хаотическими тепловыми движениями микрочастиц.
Измерительное устройство является системой, характеристики которой испытывают тепловые колебания. Невозможно измерить физическую величину с точностью, меньшей средней амплитуды хаотических колебаний указателя прибора. Оценим неустранимую погрешность весов, работающих на основе упругой силы, используя теорему о распределении энергии по степеням свободы.
Тело искомой массы подвешено на пружине с коэффициентом жесткости κ в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g. Если тело неподвижно и не ускоряется, то упругая сила
,
вызванная
растяжением пружины на расстояние x,
и сила тяжести
уравновешены
.
Измеряя
среднее растяжение пружины
,
получаем гравитационную массу телаm.
Хаотические
тепловые движения молекул пружины и
окружающего воздуха приводят к
микроколебаниям указателя весов с
амплитудой
и создают погрешность измерения массы
.
Берем дифференциал условия равновесия
сил
и
выражаем через
абсолютную
погрешность измерения массы
,
где чувствительность весов
.
Шарик
на пружине является одномерным
гармоническим осциллятором. Флуктуация
относительно среднего положения
равна
,
где
найдем из теоремы
о распределении тепловой энергии.
Потенциальную энергию упругой силы
,
сравниваем с (2.103)
,
находим
,
.
Из (2.107)
получаем среднюю потенциальную энергию, связанную с одномерным тепловым хаотическим движением весов:
.
Находим
,
получаем флуктуацию указателя весов
и неустранимую погрешностью измерения массы
.
Для уменьшения погрешности необходимо уменьшать температуру и увеличивать чувствительность весов. Это требует уменьшения коэффициента жесткости, который определяет частоту колебаний системы:
.
Используя
,
находимотносительную
погрешность измерения
.
Полученный результат применим для любых аналоговых измерительных устройств, использующих упругую силу – вольтметров, амперметров, гальванометров и других устройств.
Средняя потенциальная энергия частицы f-мерного газа в поле с радиальной зависимостью потенциальной энергии
, где
;
.
Газ
при температуре T
находится в пространстве с числом
степеней свободы
.
Потенциальная составляющая статистического
интеграла (2.105)
,
где
–элемент объема
f-мерного
пространства;
;
– элемент телесного угла,
использован интеграл
.
Из (2.106)
получаем
.
(П.4.15)
Центрифуга.
В центрифуге радиусом R, показанной на рисунке, вращающийся с частотой ω газ находится в поле центробежной силы инерции. Потенциальная энергия частицы массой m в полярных координатах на расстоянии r от оси вращения
,
.
Найдем среднюю потенциальную энергию частицы при температуре T и среднее расстояние частицы от оси вращения.
Газ в центрифуге
Потенциальная составляющая статистического интеграла (2.105) в полярных координатах
,
где использовано:
–элемент площади;
–относительная
энергия частицы у края центрифуги;
.
Из (2.106)
получаем
.
В
рамках классической статистической
физики температура достаточно высока,
тогда
.
Разлагаем в степенной ряд и удерживаем
первые 4 слагаемые
.
Находим
,
.
(П.4.16)
Центробежная
сила инерции стремится переместить
частицы к краю центрифуги. Этому
противостоит тепловое движение,
разбрасывающее частицы равномерно по
всему объему. С увеличением температуры
часть частиц оказывается ближе к оси
вращения, поэтому с увеличением
температуры
уменьшается.