Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MathAnalysis2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

539.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

n!1 n Ãµ

n¶

¢ ¢ ¢

lim

a +

2 + a +

a +

n ¡ 1

де a 2 2

;

lim

+ 2

+ 3 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1)

;

n!1

lim

1 ¢ 2 + 2 ¢ 3 + 3 ¢ 4 + ¢ ¢ ¢ + n(n + 1)

;

n!1

¢ ¢ ¢

n!1 µpn2

+ 1

pn2 + 2

pn2 + n¶.

lim

Д2. Нехай послiдовностi fan : n ¸ 1g i fbn :

n ¸ 1g розбiжнi. Що

можна стверджувати про збiжнiсть послiдовностей fan + bn : n ¸ 1g та fanbn : n ¸ 1g? Навести вiдповiднi приклади.

Д3. Нехай anbn ! 0 при n ! 1. Чи можна стверджувати, що у цьому

випадку хоча б одна з послiдовностей fan			:		n ¸ 1g,	fbn : n ¸ 1g
збiгається до нуля?
Д4. Нехай an ! 0; n ! 1; an ¸ 0;			n ¸ 1; bnan! +1; n ! 1.
До якого числа може збiгатися послiдовнiсть anbn? bn						?
N		m		2	N
Д5. Нехай an ¸ 0; n 2 m i для деякого				2
an	! a; n ! 1; a 2 R
Довести, що	! pa; при n ! 1:
an	! pa; при n ! 1:
	m

Б11

1.Нехай послiдовнiсть fan : n ¸ 1g збiжна, а послiдовнiсть fbn : n ¸ 1g розбiжна i обмежена. В якому випадку послiдовнiсть fanbn : n ¸ 1g збiжна? Чи може збiгатися послiдовнiсть fan + bn : n ¸ 1g?

2.Нехай nlim!1 an = 0: Чи можна стверджувати, що для довiльної послi-

довностi fbn :

n ¸ 1g має мiсце збiжнiсть anbn ! 0 при n ! 1?

Навести приклади.

3. Обчислити границi послiдовностей fxn : n ¸ 1g, якщо:

3 ¡ n

3n2 + 2

;

x =

1 ¡ n ¡ n3

;

(3n + 1)3

2n + 1

¡ 4n2 + 1

n + 1

xn =

cos

;

xn =

; де a 6= ¡1;

1 + an

¡ 1

2n ¡ 1

n + 1 + pn

(¡1) n

;

xn =

;

¢ n2

+ n + 1

pn3 + n

7) xn = pn2 + 2n + 2 ¡ n2 ¡ 2n + 3;

8) xn = 3 n2 ¡ n3 + n;

n+ lg n + 2n

9)xn = n2 + lg n ¡ 2n ;

10)

sin

n ¡ 1

n(¡1)n

2n2 + 1

2n + 1

2n ¡ 1

n2 + 1

4. Обчислити границi:

lim

n2 + n + 1

;

(n ¡ 1)2

n!1

lim

(n + 1)(n + 2)(n + 3)

;

n4 + n2 + 1

n!1 p3

lim

+ n

;

n + 2

n!1

+ p

n2 + 1

nlim

;

+ n ¡ n

nlim (log3 n ¡ p

);

p5n + 2n + 1;

lim

n!1

lim

n n5 + n + log2 n;

n!1 1

+ 22 + 32 +

¢ ¢ ¢

+ n2

¶;

n!1 n µ

lim

2n + 3p

+ n + 1

lim

n+1

+ 7

n!1

+ 5

5. Для додатних значень параметрiв a; b обчислити наступнi границi:

1) lim

n!1

2) lim

n!1

3) lim

n!1

4) lim

n!1

1 + a2n ;

(1 + a)(1 + a2) ¢ : : : ¢ (1 + an);

an ¡ a¡n an + a¡n ; an + 3bn

5an + 7bn :

ЗАНЯТТЯ 12

ГРАНИЦЯ ПОСЛIДОВНОСТI. ТЕОРЕМА ШТОЛЬЦА

Контрольне запитання

Теорема Штольца.

А12

1. Обчислити границi:

+ 3pn

nlim

pn + 5pn + 1

;

+ 1

!1 p5

2n + 1 ¡

n + 1

lim

;

n!1

p5 n

lim (

n + n2

+ 1

1);

n!1 q

¡ q

¡ p

+ 1

an);

lim (

де

n!1 p

2. Обчислити границi:

1 + p

+ ¢ ¢ ¢ + p

lim

;

n!1

npn

lim

13 + 23 + ¢ ¢ ¢ + (2n)3 + (2n + 1)3

n!1

lim

k! + (k+1)!

¢ ¢ ¢

+ (k+n)!

;

де

n!1 nk+1 ³

3. Нехай

послiдовнiсть

дiйсних чисел fan

1g має границю.

Довести, що послiдовнiсть середнiх арифметичних

bn =

(a1

+ a2 + ¢ ¢ ¢ + an); n ¸ 1

також має границю i nlim!1 bn = nlim!1 an. Обернене твердження, взагалi кажучи, не виконується. Навести вiдповiдний приклад.

4. Нехай послiдовнiсть fan : n ¸ 1g ½ (0; +1) має границю. Довести, що послiдовнiсть середнiх геометричних

bn = n a1a2 ¢ ¢ ¢ an; n ¸ 1

також має границю i nlim!1 bn = nlim!1 an.

5. Нехай послiдовнiсть fan

¸ 1g ½ (0; +1); a0

= 1 та iснує

границя lim

. Довести,

що послiдовнiсть

: n

n!1 an¡1

також збiгається i

lim

pan

lim

n!1

n!1 an¡1

Д1. Нехай k 2 N: Обчислити границi:

nlim

n n(¡1)n ;

nlim ( k 1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk ¡ n);

nlim

p 1! + 2! + ¢ ¢ ¢ + n!;

!1 n

lim

+ 2

+ n

+ 2k + ¢ ¢ ¢ + nk; 5)

nk¢ ¢ ¢

¡ k + 1

nlim

n!1

!1 p

Б12

1. Обчислити границi:

lim

3n + 2n+1 + n

3n + 2n

2n + 1

¡ 2n + 2n + 1¶;

n!1

lim

+ 1´;

n!1 4

(n + 1)

¡4

nlim

; де a > 0; b > 0;

ppn + a ¡ pn + b

!1 an3 +³ n2 + 3n + 1

nlim

;

a; b 2 R;

bn3 + 2n2 + 7

2. Послiдовнiсть fan

: n ¸ 1g така, що nlim (an+1 ¡ an) = a 2 R.

Знайти границю

lim

n!1 n

3. Нехай k – натуральне число. Обчислити границi:

lim

1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk

;

n!1

nk+1

lim

1k + 3k + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1)k

n!1

nk+1

lim

1 ¢ a + 2 ¢ a2 + ¢ ¢ ¢ + n ¢ an

; де a > 1;

n!1

n ¢ an+1

lim

;

де

n!1 pnk µ1 + p2 + ¢ ¢ ¢ + pn¶

;

ЗАНЯТТЯ 13

ГРАНИЦЯ МОНОТОННОЇ ПОСЛIДОВНОСТI

Контрольнi запитання 1. Означення монотонної послiдовностi.

2. Теорема про границю монотонної послiдовностi.

3. Число e := lim µ1 + 1 ¶n:

n!1 n

А13

Визначити натуральне число n0 так, щоб наступнi послiдовностi були

монотонними. Знайти границi цих послiдовностей:

½an = 3n : n ¸ n0

¾;

½an = nn : n ¸ n0¾;

an =

: n

;

fan = n2 ¡ 49n + 50 : n ¸ n0g;

fan = 5n + (¡4)n : n ¸ n0g:

Нехай для n ¸ 1

x1 = p

;

xn+1 = p

2 + xn

За допомогою теореми про границю монотонної послiдовностi довести збiжнiсть цiєї послiдовностi та знайти nlim!1 xn:

3. Нехай для n ¸ 1

	1			1				1
an = 1 +		+				+ ¢ ¢ ¢ +				¡ ln(n + 1);
	2				3				n
		1				1				1
bn = 1 +				+				+ ¢ ¢ ¢ +				¡ ln n:
			2				3				n

Довести, що:

1)8n ¸ 1 : an < bn; 2) 8n ¸ 1 : an < an+1; 3) 8n ¸ 1 : bn+1 < bn;

4)послiдовностi fan : n ¸ 1g i fbn : n ¸ 1g збiжнi до одного числа – сталої Ейлера ° (° = 0; 5772156649 : : :).

6.За допомогою теореми про границю монотонної послiдовностi довести збiжнiсть послiдовностi

	1		1		1	1
xn = 1 +		+		+		+ ¢ ¢ ¢ +		; n ¸ 1:
xn = 1 +	2 ¢ 21	+	3 ¢ 22	+	4 ¢ 23	+ ¢ ¢ ¢ +	n ¢ 2n¡1	; n ¸ 1:

7. Довести, що послiдовнiсть
an =	¡1 ¡	1	¢¡1 ¡	1	¢¢ ¢ ¢	¡1 ¡	1	¢; n ¸ 2
		22		32			n2
			45

спадна i прямує до 12 при n ! 1. Д1. Довести, що послiдовнiсть

a1 = 9; an+1 = (an ¡ 3)2; n ¸ 1;

зростає i необмежена зверху. Чому дорiвнює границя цiєї послiдовностi?

Д2. Довести, що послiдовнiсть¡ ¢

an = 1 + n12 n ; n ¸ 1;

спадає i збiжна до 1, а послiдовнiсть

bn = ¡1 + n1 ¢n2 ; n ¸ 1;

зростає i прямує до +1.

Д3. Обчислити наступнi границi:

	lim			1			1 +		1	+	1	+	1	+		+	1

1)			1 + ln n						2		3				¢ ¢ ¢		n¶;
1)	n!1		1 + ln n		µ				2		3	4			¢ ¢ ¢		n¶;
	lim			1				1				1						1
2)	lim	µn + 1			+ n + 2 + n + 3 + ¢ ¢ ¢ + 2n¶;
2)	n!1	µn + 1			+ n + 2 + n + 3 + ¢ ¢ ¢ + 2n¶;
	lim		1			1		1		1					1

3)				µ1 +		2	+	3	+	4	+ ¢ ¢ ¢ +				2n ¶.
3)	n!1 n			µ1 +		2	+	3	+	4	+ ¢ ¢ ¢ +				2n ¶.

Д4. Знайти границю

lim

Ãln n

+ 2 ln n + 3 ln n

+ ¢ ¢ ¢ + n ln n!:

n!1

Д5. Знайти границю

lim

2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + 22n :

n!1 r1 +

Д6. Нехай для n ¸ 1

an = 1 + p

+ p

+ ¢ ¢ ¢ + p

¡ 2

n + 1

;

bn = 1 + p

+ p

+ ¢ ¢ ¢ + p

¡ 2 n:

Довести, що:

1)8n ¸ 1 : an < bn; 2) 8n ¸ 1 : an < an+1; 3) 8n ¸ 1 : bn+1 < bn;

4)послiдовностi fan : n ¸ 1g i fbn : n ¸ 1g збiжнi до одного й того ж вiд’ємного числа.

Б13

1. Довести монотоннiсть наступних послiдовностей:

an = n

+ 2

n ¸ 1;

an = 3 + arcsin

; n ¸ 1;

n2 + 4

an =

; n ¸ 1;

an = lg µ1 +

¶; n ¸ 1;

n2 + 10

n4 + 8

an =

n4 + 3n2 + 1

; n ¸ 1; 6)

an =

2n2 + 1

; n ¸ 1:

n4 + 3n2 + 6

2. Знайти найбiльший член послiдовностей:

¼n

; n ¸ 1;

(

39)

; n

3) sin

; n ¸ 1.

n3 + 100

3. Нехай x1 =

xn+1

3 + xn

; n ¸ 1: За допомогою теореми про

границю монотонної послiдовностi довести збiжнiсть цiєї послiдовностi та знайти nlim!1 xn:

4. Нехай fan : n ¸ 0g– обмежена послiдовнiсть невiд’ємних чисел. Дове-

сти збiжнiсть послiдовностi

xn = a0 + 10a1 + 10a22 + ¢ ¢ ¢ + 10ann ; n ¸ 1:

5. За допомогою теореми про границю монотонної послiдовностi довести збiжнiсть наступних послiдовностей:

				1									1								1									1
1)	xn = 1 +							+									+									+ ¢ ¢ ¢ +												; n ¸ 1;
1)	xn = 1 +			2				+				22					+					23				+ ¢ ¢ ¢ +							2n					; n ¸ 1;
2)	xn = 1 +			1											+									1			+ ¢ ¢ ¢ +										1					; n ¸ 1;
2)	xn = 1 +				2 + 1										+					22				+ 1			+ ¢ ¢ ¢ +											2n + 1				; n ¸ 1;
				1																	1								1											1
3)	xn = 1 +												+													+					+ ¢ ¢ ¢ +												; n ¸ 1;
3)	xn = 1 +						1				2		+						2		¢			3		+	3		¢	4	+ ¢ ¢ ¢ +										n(n + 1)		; n ¸ 1;
				1						¢			1								¢			1					¢					1
4)	xn = 1 +									+								+																+ ¢ ¢ ¢ +					; n ¸ 1;
4)	xn = 1 +				22					+						32		+							42									+ ¢ ¢ ¢ +	n2				; n ¸ 1;
				1									1											1						1
5)	xn = 1 +									+								+								+ ¢ ¢ ¢ +										; n ¸ 1;
5)	xn = 1 +				1!					+				2!				+					3!			+ ¢ ¢ ¢ +						n!				; n ¸ 1;
	10			11																	n + 9
6)	xn =		¢								¢ : : : ¢																	; n ¸ 1;
6)	xn =	1	¢			3					¢ : : : ¢										2n + 1							; n ¸ 1;												µ1 ¡ 2n ¶				; n ¸ 1;
7)	xn = µ1 ¡ 2¶µ1 ¡ 4																									¶µ1 ¡ 8								¶¢ ¢ ¢						µ1 ¡ 2n ¶				; n ¸ 1;
									1															1						1										1
																																		¶¢ ¢ ¢										; n ¸ 1.
8)	xn = µ1 + 2¶µ1 + 4																									¶µ1 + 8								¶¢ ¢ ¢						µ1 + 2n ¶				; n ¸ 1.
				1																				1						1										1
																														47

ЗАНЯТТЯ 14

ТОЧНI МЕЖI. ПIДПОСЛIДОВНОСТI. ЧАСТКОВI ГРАНИЦI. ВЕРХНЯ ТА НИЖНЯ ГРАНИЦI ПОСЛIДОВНОСТI

Контрольнi запитання

1.Означення обмеженої зверху, обмеженої знизу та обмеженої числової множини.

2.Означення найбiльшого i найменшого елементiв числової множини.

3.Означення точної верхньої та точної нижньої межi числової множини.

4.Означення пiдпослiдовностi числової послiдовностi.

5.Означення часткової границi послiдовностi.

6.Означення верхньої та нижньої границь послiдовностi.

А14

1. Для множини A визначити точнi верхню та нижню межi, якщо

1)A = (¡2; 3) [ [4; 5];

2)A = (¡1; 2) [ f4g [ (5; 6);

A = (¡1; 3);

A = x 2 R j x ¡ 1 > 0 ;

A = fx 2 R j x = 2; 13®3 : : : ®n : : : ; ®n 2 f0; 1; : : : ; 9g, n ¸ 3g;

A = fx 2 R j x = 0; ®1®2 : : : ®n : : : ; ®n · n ¡ 3 n3 , n ¸ 1g:

що наступнi множини дiйсних чисел обмеженi:

Довести, n

h i

1) A = ½k=0

j n 2 N¾;

2) A = ½k=1

j n 2 N¾:

Знайти множинуP

часткових границь, нижню таPверхню границi послi-

довностi fxn : n ¸ 1g; а також точнi межi вiдповiдної множини:

1) xn =

(¡1)n

1 + (¡1)n

; 2)

xn = 1 +

cos

¼n

n + 1

Знайти множину часткових границь послiдовностi

12 ; 13 ; 23 ; 14 ; 24 ; 34 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; ¢ ¢ ¢ :

5. Нехай an ! 1 при n ! 1 . Довести, що послiдовностi fxn : n ¸ 1g та fanxn : n ¸ 1g мають однi й тi ж частковi границi.

Д1. Нехай послiдовнiсть дiйсних чисел fxn : n ¸ 1g i число a такi, що для довiльного " > 0 множина fn 2 N j xn < a ¡ "g скiнченна. Довести, що

lim xn ¸ a:

n!1

Д2. Знайти множину часткових границь, а також нижню та верхню границi такої послiдовностi:

1; 12 ; 1 + 12 ; 13 ; 1 + 13 ; 12 + 13 ; 14 ; 1 + 14 ; 12 + 14 ; 13 + 14 ;

15 ; ¢ ¢ ¢ ; n1 ; 1 + n1 ; 12 + n1 ; ¢ ¢ ¢ ; n¡1 1 + n1 ; n+11 ; ¢ ¢ ¢ .

Б14

1. Якi з наступних числових множин обмеженi зверху, якi обмеженi знизу, якi необмеженi? Знайти точнi верхнi та нижнi межi для обмежених множин.

1)Множина рацiональних чисел r = pq , для яких 0 < q < p.

2)Множина рацiональних чисел r = pq , для яких ¡q < p < 0 < q.

3)[2; 7] \ (RnQ).


4)	Множина периметрiв правильних 2n+1-кутникiв, вписаних					у
коло радiуса R.
5)	Множина площ правильних 2n+1-кутникiв, вписаних					у
коло радiуса R.
6)	Множина десяткових наближень з надлишком для p			.
		2
7)	Множина десяткових наближень з недостачею для p				.
			2

2. Знайти множину часткових границь, а також нижню та верхню границi наступних послiдовностей:

xn =

; n ¸ 1;

n¡10;5

2¡

xn = (¡1)n

2 + n3

; n ¸ 1;

n(n 1)

xn = 1 + 2 ¢ (¡1)

+ 3 ¢ (¡1)

; n ¸ 1;

n ¡ 1

cos

2¼n

;

n + 1

xn = (¡1)nn; nn¸ 1;

+ (

1) )n;

xn = ¡(2 n

;

= n(¡1)

= n + 1

¸ n;

¸ ;

;

n ¸ 1;

= (¡1)n

1 + n1

+ sin

¼n4

2 ¼n

sin

;

x =

n 1 + 2n( 1)n ; n

10)

p n 2¼n ¡

;

11)

xn = cos

;

n ¸ 1.

ЗАНЯТТЯ 15

ТОЧНI МЕЖI. ПIДПОСЛIДОВНОСТI. ЧАСТКОВI ГРАНИЦI. ВЕРХНЯ ТА НИЖНЯ ГРАНИЦI ПОСЛIДОВНОСТI

Контрольнi запитання

1.Означення обмеженої зверху, обмеженої знизу та обмеженої числової множини.

2.Означення найбiльшого i найменшого елементiв числової множини.

3.Означення точної верхньої та точної нижньої межi числової множини.

4.Означення пiдпослiдовностi числової послiдовностi.

5.Означення часткової границi послiдовностi.

6.Означення верхньої та нижньої границь послiдовностi.

А15

1. Знайти множину часткових границь, нижню та верхню границi послiдовностi fxn : n ¸ 1g; а також точнi межi вiдповiдної множини:

¼n

xn = 1 + n sin

;

xn = 1 + tg(

);

2¼n

xn =

cos

;

xn = (¡1)n + 2(¡1)n+3;

n2 + 1

xn = 3 µ1 ¡

+ 2(¡1)n;6) x2n¡1 =

; x2n =

2 ¡

; n ¸ 1.

2. Довести обмеженiсть та визначити точнi верхню та нижню межi

наступних множин:

n+1n j n 2 N ;

(2 + (¡1)n) j n 2 N ;

числової

n+3

Наведiть приклад

множини A

такої,

що inf A = 0;

sup A = 1, але A 6= [0; 1].

4. Знайти:

m ¡ n

inf

sup

;

sup

inf (x2 ¡ 2nx)

n 2N m 2N m + n

n 2N x 2R

sup

inf

m ¡ n

;

m 2N n 2N m + n

A = 1 + 12 + ¢ ¢ ¢ + n1

необмежена зверху.

Д1. Для обмежених послiдовностей fan довести нерiвностi:

jn 2 Nª:

:n ¸ 1g; fbn : n ¸ 1g

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.20193.39 Mб2Massspectrom_Lazer.doc
#
03.09.20192.32 Mб21master GOS otvety.doc
#
26.11.20181.6 Mб4Master-1st grade.doc
#
14.09.20195.44 Mб50MAS_YaMR_ICh.doc
#
20.11.201829.73 Кб6Match_the_English_cinema_words_with_their_Ukrai....docx
#
07.03.2016539.4 Кб7MathAnalysis2015.pdf
#
07.03.20161.97 Mб30mat_metody_Nasledov.docx
#
09.12.20183.27 Mб27mat_model.doc
#
19.03.201514.21 Mб264Mech-Slobod.pdf
#
19.03.20154.07 Mб36mediapravo_ispit.pdf
#
24.08.2019230.4 Кб2MEDIKO-sotsialni_aspekti_nayvazhlivishikh_khvor...doc