Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MathAnalysis2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

539.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

11. Довести, що число, виражене нескiнченним десятковим дробом 0; 1000000001000000 : : : (одиницi стоять на першому, десятому, сотому,

тисячному i т.д. мiсцi, iншi цифри – нулi) – iррацiональне.

m+2n

Д1. Показати, що якщо

2, то

– хороше наближення до

m+n – ще

краще наближення i що похибки цих наближень будуть рiзних знакiв. На

основi цього твердження отримайте 4 наближення до p2, виходячи з на-

ближення 1

. Оцiнiть їх точнiсть.

+ p

; p

+ p

– алгебраїчнi.

Д2. Довести, що числа

Б7

Довести, що число p3

– iррацiональне.

p2 + 3

Довести, що число

– алгебраїчне.

Вiдрiзок

так, що AB ¢ AC = BC (золотий

дiлиться точкоюAC

подiл). Довести, що вiдношення AB

iррацiональне.

Вказати два iррацiональних числа, рiзниця яких рацiональна.

Вказати два iррацiональних числа, добуток яких рацiональний.

Нехай ®; ¯ 2= Q; ® + ¯ 2 Q. Довести, що ® ¡ ¯; ® + 2¯ 2= Q.

Нехай ®;

¯ 2 RnQ;

r 2 Q: Якi з наступних чисел можуть виявитися

рацiональними: 1) p®;

2) ® ¢ ¯;

3) ® ¢ r; 4) p® + r;

5) p

® + p

; 6) p

® + p

; 7) p

r + p

8.Довести, що дiйсне число 0; 12345678910111213 : : : – iррацiональне.

9.Виписати десятковi наближення числа p2 з недостачею з точнiстю 0; 1; 0; 01; 0; 001 i знайти рiзницю мiж числом 2 i квадратами цих наближень. Зробити те саме з наближеннями з надлишком.

10.Для довiльного натурального числа n довести нерiвнiсть Бернуллi:

(1 + x1)(1 + x2) : : : (1 + xn) ¸ 1 + x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn;

де x1; x2; : : : ; xn – числа одного й того ж знаку, бiльшi за ¡1.

11.Довести нерiвностi:

1)a + a1 ¸ 2; a > 0;

2)a2 + b2 + c2 ¸ ab + bc + ac; a; b; c 2 R:

ЗАНЯТТЯ 8 ГРАФIКИ ФУНКЦIЙ

										А8
1.	Побудувати графiки функцiй:											x
	1)	y = (1 ¡ x2)(2 + x);							4)	y =			;
												2
		2	1								1x¡ x
	2)	y = x +						;	5)	y = 2		sin x;
						x
	3)	y = x +		1			;		6)	y = 2x 2¡ cos x;
			x						7)	y = sin x:

2.	Побудувати графiки функцiй:
	1)	y = sin x2;								3)		y = 3x2 ;
			1							4)		y = 3¡x2 ;
	2)	y = sin³					´;			5)		y = arcsin(sin x):
					x

Д1. Скiльки коренiв має рiвняння j sin xj = 201¼ ?

Д2. Скiльки коренiв має рiвняння x2 ¡ 3jxj + 2 = a у залежностi вiд значень параметра a?

Д3. Скiльки коренiв має рiвняння x5 ¡ 5x = a в залежностi вiд значень параметра a?

Б8

1. Побудувати графiки функцiй:

y = p

y =

;

¡x ¡ 2;

1+x2

y = x(1 ¡ x2)2;

y = x +

;

y = 1 + x2 ;

y = xq

10¡¼x ;

10)

y = 3

y = x cos

;

y = x2 +

;

cos x;

y = x2 ¡ x4;

11)

y = x + sin x;

12)y = x cos x;

13)y = lg 11+¡xx ;

14)y = lg x12 ;

15)y = lg(1 + 10x);

16)y = sin3 x;

17)y = ctg2 x;

18)y = sin x ¡ cos x:

2. Побудувати графiки функцiй:

1) y = 3x ;

2) y = 3x2 ;

3) y = 3¡x12 ;

4) y = 31¡x2 ;

5) y = 2sin x ;

6) y = lg sin x;

7)y = lg tg x;

8)y = 2sin x;

9)y = arccos(cos x);

10)y = arctg(tg x);

11)y = tg(arctg x);

12)y = lg2 x + 6 lg x:

ЗАНЯТТЯ 9

ГЕОМЕТРИЧНЕ МIСЦЕ ТОЧОК. ПОЛЯРНI КООРДИНАТИ

Контрольнi запитання

1.Геометричне мiсце точок.

2.Полярнi координати.

А9

1. Побудувати кривi, заданi параметрично: 1) x = 1 ¡ t; y = 1 ¡ t2 (парабола);

2)x = t + t ; y = t + t2 ;

3)x = 10 cos t; y = sin t (елiпс).

2.Скласти параметричне рiвняння кривої, яку описує фiксована точка кола при його коченнi без ковзання по прямiй (цю криву називають циклоїда).

3.Побудувати геометричне мiсце точок (x; y); якщо:

1)x2 + y2 = 3;

2)x2 + y2 = 0;

3)2x + y = 3;

4)x2 + y2 · 2;

5)x2 + y2 > 9;

6)x2 + 6x + y2 ¡ 4y < 3;

7)x + y + 2 > 0;

8)x + 2y < 1; x ¡ 2y ¸ 1;

9)x + y < 1; x + y > 0;

10)x + y < 3; 2x + y > 3;

2y + x > 3;

11)sin(x ¡ y) = 0;

12)maxfx; yg = 3;

13)maxfjxj; jyjg · 2;

14)[x] + [y] · 1;

15)jxj + jyj · 1;

16)jx ¡ 2j + jy + 1j · 1;

17)jyj · sin x;

18)¡x2 · y · x + 2;

19)x2 + y2 ¡ 4y = 0;

20)x3 + y 3 = 4 (астроїда):

4. Побудувати кривi у полярнiй системi координат:

1) r = ' (спiраль Архiмеда);

2) r = 22¼ (логарифмiчна спiраль); 3) r = 2(1 + cos ') (кардiоїда);

4) r = 10 sin 3' (трипелюсткова троянда); 5) r = sin ' (коло):

Д1. Побудувати криву, задану параметрично такими рiвняннями: x = 2t cos t; y = 2t sin t; t 2 R:

Д2. Побудувати геометричне мiсце точок (x; y); якщо:

1)sin ¼x ¢ sin ¼y ¸ 0;

2)[jxj] + [jyj] · 2;

3)[x2] + [y2] · 2;

4)(x ¡ y)x2+y2 ¸ x ¡ y;

5)logx¡y(x + 2) > 2;

6)logjxj¢y2 x2 ¸ 1;

7)logx¡y(x2 + y2) ¸ logx¡y 4;

8)logx+y(x2 + y2) ¸ logx+y 9;

9)logjxj+jyj(x2 + y2) · 0:

Д3. У декартовiй системi координат визначити множину точок, координати яких задовольняють спiввiдношенням:

1) x2 ¡ xy + y2 = 1; 2)x3 ¡ 3xy + y3 = 0 (декартiв лист).

Д4. Довести, що графiком функцiї, заданої у полярних координатах спiввiднощенням r = sin '; ' 2 [0; ¼]; є коло.

Б9

1.Побудувати кривi, заданi параметрично:

1)x = 4t; y = 2t + 1;

2)x = 1 + t; y = 1 ¡ t2;

3)	x = 5 cos2 t;	y = 3 sin2 t;
4)	x = 21 (et + e¡t); y = 21 (et ¡ e¡t):
Примiтка. Функцiї		sh t = 21 (et ¡ e¡t); ch t = 21 (et + e¡t); t 2 R;

називаються вiдповiдно гiперболiчними синусом та косинусом.

2. Побудувати геометричне мiсце точок (x; y); якщо:

1)x = 3;

2)4x ¡ 3y = 1;

3)x2 + y2 ¸ 3;

4)x2 + y2 < 25;

5)x2 + y2 = ¡1;

6)x2 + 4x + y2 ¡ 8y < 5;

7)x ¡ y ¡ 3 · 0;

8)x + y < 1; x2 + y2 < 9;

9)x + y · 3; x ¸ 1; y ¸ 1;

10)cos(2x ¡ y) = 0;

11)tg(x + y) = 0;

12)minfx; yg < 1;

13)minfjxj; jyjg = 5;

14)[x] + [y] = 3;

15)x2 ¡9x + y2 + 2y + 6 = 0;

16)2jx ¡ 1j + jyj · 2;

17)jyj · 1 ¡ x2;

18)2x · y · x2 + 2;

3. У декартовiй системi координат визначити множину точок, координати яких задовольняють спiввiдношенню:

1)px + py = 1;

2)x2=5 + y2=5 = 1:

4. Побудувати графiки функцiй у полярнiй системi координат:

1) r = '; ' > 0; (гiперболiчна спiраль); 2) r = ' '+ 1; 0 · ' < +1;

3) r2 = 36 cos 2' (лемнiската Бернуллi); 4) r = cos ' (коло).

ЗАНЯТТЯ 10

ГРАНИЦЯ ПОСЛIДОВНОСТI. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦI ЗА ОЗНАЧЕННЯМ

Контрольнi запитання

1.Означення границi послiдовностi.

2.Означення обмеженої послiдовностi.

3.Теорема про єдинiсть границi.

А10

1. За означенням границi послiдовностi довести рiвностi:

lim

2n + 3

;

lim

= 0;

n!1

4n + 5 2

n!1 n3 + 1

lim

5n + 6

= 5;

lim 2¡p

= 0:

n!1 n + 1

n!1

У випадку 2) заповнити наступну таблицю:

0,1

0,01

0,001

0,0001

N(")

2. Чи збiжна послiдовнiсть 1;

1 ;

1 ; : : :?

3. Знайти наступнi границi:

nlim (p

¡ p

);

n + 1

!1 p3

cos n!

lim

;

n + 1

n!1

lim

¢ ¢ ¢

n ¡ 1

;

!1³n1

n!1³1 ¢ 2 + 2 ¢ 3 + ¢ ¢ ¢ + n(n + 1)

lim

4. Який вираз приймає бiльшi значення для всiх натуральних n,

починаючи з деякого:
1) 100n+200 чи 0; 01n2;	2) 2n	чи n1000; 3) 1000n чи n! ?
5. Нехай послiдовнiсть fan :	n ¸	1g обмежена, а послiдовнiсть

fbn : n ¸ 1g збiжна до нуля. Довести, що послiдовнiсть fanbn : n ¸ 1g збiгається до нуля.

6.Нехай fan : n ¸ 1g ½ Rnf0g. Довести, що janj ! +1 при n ! +1 тодi i тiльки тодi, коли a1n ! 0 при n ! +1.

7.Нехай a 2 R, fan : n ¸ 1g – послiдовнiсть дiйсних чисел. Що означають наступнi висловлювання:

1)9" > 0 9k 2 N 8n > k : jan ¡ aj < ";

2)9" > 0 9k 2 N 8n > k : jan ¡ aj > ";

3)9" > 0 8k 2 N 9n > k : jan ¡ aj < ";

4)9" > 0 8k 2 N 8n > k : jan ¡ aj < ";

5)8" > 0 9k 2 N 9n > k : jan ¡ aj < ";

6)8" > 0 9k 2 N 9n > k : jan ¡ aj > ";

7)8" > 0 9k 2 N 8n > k : jan ¡ aj > ";

8)8" > 0 9k 2 N 8n > k : jan ¡ aj < ";

9)8" > 0 8k 2 N 9n > k : jan ¡ aj > ";

10) 8" > 0 8k 2 N 9n > k : jan ¡ aj < "?

Д1. Довести наступнi рiвностi:

lim

= 0;

lim

= 0;

!1 n!

lim

loga n

= 0;

lim

= 0:

n!1

2n ¡ 1

lim

Д2. Знайти границю n!1

¢ ¢ ¢

Д3. Нехай послiдовнiсть

прямує до +

. Довести, що серед її членiв є найменший.

Д4. Довести, що збiжна послiдовнiсть має найбiльший або найменший член.

Б10

1. За означенням границi послiдовностi довести рiвностi:

lim

= 1;

n!1 n + 1

nlim

n! = 0;

n+1

lim

(¡1)

= 0;

lim 0; 999n

= 0:

n!1

У випадках 1), 2) заповнити наступну таблицю:

0,1

0,01

0,001

0,0001

N(")

2. Знайти наступнi границi:

³2n

¡ 2n 2n ¡ ¢ ¢ ¢

¡ 2n

1) n!1 n3

+ 1

2) n!1

lim

10000n

;

lim

2n ¡ 1

;

3) lim

(n ¡ 1)2

;

¢ ¢ ¢

2´

n!1 ³n2

lim

(2n ¡ 1)

³n3

¢ ¢ ¢

4) n!1

3.Чи змiниться змiст означення границi послiдовностi, якщо в означеннi:

1)"8" > 0" замiнити на "8" 2 R";

2)"8" > 0" замiнити на "9" > 0";

3)"9N 2 N" замiнити на "9N 2 R";

4)"9N 2 N" замiнити на "8N 2 N";

5) "9N 2 N 8n > N : jan ¡ aj < "" замiнити на

"9N 2 N : jaN ¡ aj < "";

6)"jan ¡ aj < "" замiнити на "jan ¡ aj · "" ?

4.Нехай a 2 R, fan : n ¸ 1g – послiдовнiсть дiйсних чисел. Довести, що

кожна з наступних умов означає необмеженiсть послiдовностi fan : n ¸ 1g:

1)8" > 0 8k 2 N 9n > k : jan ¡ aj > ";

2)8" > 0 8k 2 N 9n > k : janj > ".

5.Нехай a 2 R, fan : n ¸ 1g – послiдовнiсть дiйсних чисел. Довести,

що кожна з умов

1)9" > 0 8k 2 N 8n > k : jan ¡ aj < ";

2)9" > 0 9k 2 N 8n > k : jan ¡ aj < ";

3)9" > 0 8n 2 N : jan ¡ aj < ";

4)9" > 0 8n 2 N : janj < "

означає обмеженiсть послiдовностi fan : n ¸ 1g.

ЗАНЯТТЯ 11

ВЛАСТИВОСТI ЗБIЖНИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ. ТЕОРЕМА ПРО ГРАНИЦЮ СУМИ, ДОБУТКУ I ЧАСТКИ

Контрольнi запитання

1.Властивостi збiжних послiдовностей.

2.Теорема про три послiдовностi.

3.Теорема про границю суми, добутку та частки збiжних послiдовностей.

А11

1. Обчислити границi:

lim

1 + a + a2 + ¢ ¢ ¢ + an

;

a < 1;

< 1;

1 + b + b2 +

¢1¢ ¢

+ bn

де j j

j j

a0n

lim

+ a1n

+ ¢ ¢ ¢ + ar

;

де

r; s

+ b

ns 1

¢ ¢ ¢

+ b

ai; bj 2 R; 0 · i · s; 0 · j · r; a0b0 6= 0;

(n + 1)13 + (n + 2)11

nlim (p

¡ p

lim

; 9)

n2 + n + 1

n2 ¡ 1);

n!1

(n + 3)13 + 1

+ 1);

10)

nlim n(

+ n + 1 ¡

lim

(¡2)

+ 3

;

!1 n

n+1

11)

+ 5

;

n!1

(¡2)

n+1

+ 3

lim

n!1 n

12)

lim

+ 2

+ cos n

;

lim

pn3 + n + 1;

n!1

2n+1 + sin n2

13)

lim

+ n + 1;

n2 + n sin n + p

n!1

lim

;

14)

lim

pn;

n!1 (n + lg n)

n!1

15)

lim

log

2 2;

lim

;

де

!1 p

n!1

1 + an

n + 1

lim (2n

n6);

16)

lim

;

n!1

n!1 rn + 2

Д1. Обчислити границi:

lim

1 + 2 +

+ n

¶;

n +¢2¢ ¢

¡ 2

n!1

lim

j1 ¡ 2 + 3 ¡ 4 + ¢ ¢ ¢ ¡ 2nj

;

n!1

pn2 + 1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.20193.39 Mб2Massspectrom_Lazer.doc
#
03.09.20192.32 Mб21master GOS otvety.doc
#
26.11.20181.6 Mб4Master-1st grade.doc
#
14.09.20195.44 Mб50MAS_YaMR_ICh.doc
#
20.11.201829.73 Кб6Match_the_English_cinema_words_with_their_Ukrai....docx
#
07.03.2016539.4 Кб7MathAnalysis2015.pdf
#
07.03.20161.97 Mб30mat_metody_Nasledov.docx
#
09.12.20183.27 Mб27mat_model.doc
#
19.03.201514.21 Mб263Mech-Slobod.pdf
#
19.03.20154.07 Mб36mediapravo_ispit.pdf
#
24.08.2019230.4 Кб2MEDIKO-sotsialni_aspekti_nayvazhlivishikh_khvor...doc