Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4638 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

MathAnalysis2015

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
07.03.2016
Размер:
539.4 Кб
Скачать
☆

7. Розв’язати системи рiвнянь:

(

x4 + y4 = 82;

1)

(xy = 3;

x ¡ y = 5 ;

2) y x 6

8x2 ¡ y2 = 5;

>2x + y + z = 7;

<

3)>x + 2y + z = 8; :x + y + 2z = 9;

(

4)

2x2 ¡ 3xy + y2 = 3; x2 + 2xy ¡ 2y2 = 6;

(

x3 + y3 = 9;

5)

x + y = 3;

(

x2 + y2 = 5;

6)

xy = 2:

8. Розв’язати рiвняння з iррацiональностями:

1)

p

 

 

 

 

 

¡ p

 

 

 

= 2;

 

 

 

 

 

 

 

3x + 7

x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

px + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

x + px + 11 + x ¡ px + 11 = 4;

 

p

 

 

 

 

 

p

 

 

¡

= p

2x

 

 

12;

 

 

 

 

p

 

 

¡ p

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

4)

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x + 9

¡

3 x ¡ 7 = 2;

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

p5x + 7 ¡ p5x ¡ 12 = 1;

 

 

 

 

6)

p

x + 1

+ p

4x + 13

= p

3x + 12

:

9. Знайдiть

24-й

член арифметичної прогресiї, якщо a1 = 13; 5 i

d = ¡0; 8:

10.Скiльки членiв арифметичної прогресiї 88; 80; ::: знаходиться мiж числами -40 i 10?

11.Шостий член арифметичної прогресiї дорiвнює 70, а 12-й член 10. Знайдiть суму двадцяти чотирьох перших членiв цiєї прогресiї.

12.Знайдiть 8-й член геометричної прогресiї, якщо b1 = ¡0; 0001 i q =

10:

13.У геометричнiй прогресiї b9 = 12 ; q = 12 : Знайдiть перший член i суму дев’яти перших членiв прогресiї.

14.Знайти n натуральне таке, що:

1)7 + 11 + ::: + (4n ¡ 1) = 20n ¡ 38;

2)4 + 22 + 23 + ::: + 2n¡1 = 2n2¡292 n+ 652 :

11

ЗАНЯТТЯ 2

ГРАФIКИ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦIЙ. ВЛАСТИВОСТI ЛОГАРИФМIВ ТА ПОКАЗНИКОВИХ ФУНКЦIЙ

Контрольнi запитання

1.Область визначення та область значень функцiї.

2.Функцiї непарнi, парнi, монотоннi та перiодичнi. Вiдповiднi властивостi графiкiв.

3.Елементарнi перетворення графiкiв.

4.Властивостi дiй з логарифмами.

А2

1. Знайти множини визначення функцiй. Чи є вони парними? непарними?

перiодичними?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = p

 

 

 

 

;

 

 

cos 3x;

 

 

1)

4

 

x

3)

y =

 

 

 

 

x¡

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

2)

y =

 

 

;

4)

y = x :

 

 

 

 

 

 

x2¡3x+2

 

 

 

 

 

 

2. Побудувати графiки функцiй:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

y = 2x + 3;

4)

y = ¡x2 + 4x ¡ 1;

2)

y = ¡1;

2

;

 

 

5)

y = x2 + 4x + 5:

 

 

3)

y = 5 ¡ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Побудувати графiки функцiй:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

y = ¡ log2 x;

3)

y = 2 + log2(x + 1);

2)

y = log2(¡x);

4)

y = 2x¡2.

 

 

 

 

4. Побудувати графiки дробово-лiнiйних функцiй:

 

 

 

 

1)

y =

2x ¡ 3

;

2)

y =

 

3x + 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ¡ 2

 

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

 

5. Побудувати графiки функцiй:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

y = sin(3x) ¡ 4;

6)

y =

3+2¡jjxxjj

;

 

 

 

 

2)

y = 4 ¡ log2(x ¡ 2);

7)

y =

 

x2

¡

4x + 3

j

;

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

j

2

 

 

 

3)

y = cos(2x + 3 );

8)

y = x

2¡ 4jxj + 3;

4)

y = sin jxj;

9)

y = jx2

¡ 4jxj + 3j;

5)

y = j sin xj;

10)

y = jx

¡ 4xj + 3:

12

6. Спростити вираз:

 

 

log

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 log3 5 ¡ 3 log9 7;

 

 

 

 

 

1)

2log4

7;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

 

 

 

2)

4

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;5¡log27 2;

 

 

 

 

 

3)

log9 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

273 log1=3

 

 

 

 

 

4)

log1=2 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

5logp

 

 

 

4+2 log5 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

log3

91 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q25

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

log2 3 + log2 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

log6 5

+ 49

log8 7

:

 

 

 

 

 

7. Розв’язати показниковi рiвняння:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

2x+3 = 32;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

2

¢

3x+1 = 5

¢

7x¡1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

p

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p9;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

7

x

= 12;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ 3 =

 

 

 

6

 

 

 

¡ 9 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

3x + 3x+1 = 108;

 

 

 

 

10) 2x+ x ¡4 ¡ 5 ¢ (p2)x¡2+

x ¡4 ¡ 6 = 0;

5)

5x2¡2x+2 = 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11) xlog1=3(3x) =

 

 

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

16x + 3

4x

 

 

 

4 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

x

+ 6

x ¢

 

 

 

x¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12) (3

¢

 

(3px+3)

2p

 

)

p

 

¡1

=

 

3

 

 

:

 

7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ 4

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

8. Розв’язати логарифмiчнi рiвняння:

 

 

lg(x2 ¡ 17) = lg(x + 3);

1)

lg(x + 1) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

2)

log

 

 

 

125 = 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

log

4

x + log

x

4 = 2; 5;

 

 

 

 

 

 

x p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ 1) = 1 + log8(3

+ 1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log2

 

 

 

4 + log8(9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

log7(log5(p

 

 

 

 

 

 

+ p

 

)) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log6(p7

 

 

 

 

 

) + 8 log6 2 = 8;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

3x(15¡x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx¢ q1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+x4 1= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

logp

 

logp

 

3 ¡ logx 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

log2(25 ¡ + 7) = 2 + log2(5

¡

 

+ 1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Розв’язати системи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

log8 y

+ y

log8 x

= 4;

 

 

 

 

3

 

 

 

+ 3 = 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

(9x + 9y = 10;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

(log4 x ¡ log4 y = 1:

 

 

Д1. Спростити вираз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

((logb4 a + loga4 b + 2)1=2 + 2)1=2 ¡ logb a ¡ loga b;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µx1+

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+ 1

1=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

+ 83 logx2

2

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 log4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 loga

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

µ³

 

2 loga b ¡ 1´

1=2

¡

³

 

 

2 loga b

 

 

+ 1´

1=2

b(a > 1);

 

q

 

loga2 b+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

loga2 b+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ q

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x22¡x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

(

)2 + 4

1 +

4

+ x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x8+x4

 

x2p

 

 

 

 

 

2p

 

 

 

 

1=2

 

 

 

 

 

2+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

p³

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

2

´

 

;

 

 

 

 

 

 

x4¡x2p2+1

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

6)

x

 

¡ 12x + 36 ¡

x ;

 

 

 

 

7)

(lg b ¢ 2log2 lg b)1=2 ¢ lg¡1=2 b2

;

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lg2 b+1 + 1

¡

100;5 lg lg b1=2

 

 

 

 

 

 

 

2 lg b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

spa ¡ 2p3

b + 2 pa3b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

 

 

 

a ¡ 8pa3b2

+ 4pb2

 

+ 3p3 b:

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д2. Без калькулятора дiзнатися, яке з чисел бiльше: log135 675pчи log45 75: Д3. Знайти множину визначення та множину значень функцiї y = 2 + x ¡ x2.

Б2

1.Побудувати графiки функцiй:

1)y = cos(¼4 ¡ x);

2)y = 3 + 2 sin 2x;

3)y = 1 ¡ cos x2 ;

4)y = j tg 2xj;

5)y = tg j2xj;

6)y = ¡2 arcctg x;

7)y = jx¡1 3j;

8)y = jjxxj¡j+41 ;

¯¯

9)y = ¯¯xx¡+41 ¯¯;

10)y = (jxj + 1)3;

11)y = jx2 + 2x ¡ 3j;

12)y = x2 + 2jxj ¡ 3;

13)y = jx2 + 2jxj ¡ 3j;

14)y = jx2 + 2xj ¡ 3:

2.Знайти lg 56; якщо lg 2 = a i log2 7 = b:

3.Знайти помилку в доведеннi:

1)

8 < 32;

23 < 25; log0:1(23)

< log0:1(25);

3 log0:1

 

5 log0:1 2;

3 > 5;

 

 

1

< 2log2 51 ;

 

2)

 

1

<

51 ;

log2

 

1

< log2 51 ; 2log2

22 log2

 

 

25

25

25

 

2log2 51

; 4log2 51

< 2log2 51 ; 4 < 2:

 

 

 

 

 

 

 

4. Спростити вираз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

3log5 125;

 

5)

log10 0:1;

 

 

 

 

 

log0:01 p

 

 

 

2)

4log2 3;

 

6)

10;

 

3)

5log5 7;

 

7)

3 log2

3 + 4 log4 5;

 

8)

4 log3

2 ¡ 3 log9 4;

 

 

 

 

4

 

4)

log3=4 3 ;

 

9)

3 log2 log4 16 + log0:5

2 <

1

5 <

2;

14

10)

93¡log3 2¡log81 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(27

1

+ 5

log25 49

 

 

1

 

 

log4

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log2 3

 

log4 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11)

 

 

 

 

 

 

)(81

 

 

 

¡ 8

 

 

)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + 5

 

 

 

¢ 5log5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log16 25

 

 

 

 

5. Спростити вираз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1+

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

+ 8

3 logx2 2 + 1)1=2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 log4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

 

 

 

 

 

 

 

+ 3logp

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log5 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

¢

³(p7)log25 7

¡ 125log25

6

´;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

409

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ¡ loga b

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(loga b + logb a + 1) ¢ loga ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Вiдомо, що loga x = ®; logb x = ¯; logc x = °; logd x = ±: Знайти

 

 

 

logabcd x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Розв’язати показниковi рiвняння:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

25x =

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

3x¡1 + 3x¡2 + 3x¡3

= 13;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

9¡x = 27;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

4

x+1 = 64 ¢ 2

x+1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

p

 

 

 

p

 

 

 

= 36;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

4x

+ 2x ¡ 6 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x+1 = 8;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9) 32p

 

¡ 4 ¢ 3p

 

+ 3 = 0;

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

5)

7x ¡ 7x¡1 = 6;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) 7 ¢ 2x = 5 ¢ 3x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11)

32x2+6x¡9 + 4

 

 

15x2+3x¡5 = 3

¢

52x2+6x¡9

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12)

5

p

 

+2

 

¢ 0; 2

p

 

+2

= 125x¡4

¢ 0; 04x¡2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ¢ 5

2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

p

 

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13)

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ 7 ¢ 10

 

 

 

+ 5 ¢ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14)2x2¡1 ¡ 3x2 = 3x2¡1 ¡ 2x2+2:

15)6 ¢ 91=x + 6 ¢ 41=x ¡ 13 ¢ 61=x = 0;

16)25p2x2+2x¡3¡x + 2 ¢ 5p2x2+2x¡3¡x ¡ 3 = 0;

17)52x¡1 + 22x ¡ 52x + 22x+2 = 0;

18)x2 lg3 x¡1;5 lg x = p10;

19)27 ¢ xlog27 x = x10=3;

20)xlog3 x+1 = 9x;

21)(0; 4)lg2 x+1 = (6; 25)2¡lg x3 :

15

8. Розв’язати логарифмiчнi рiвняння:

1)

lg x = 3 ¡ lg 5;

 

 

 

 

 

4)

log2(x ¡ 1) = log2(x2 ¡ x ¡ 16);

2)

lg(lg x) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

5)

log32 x ¡ 3 log3 x ¡ 10 = 0;

3)

logx 36 = 2;

 

 

 

 

 

 

 

6)

log9 x + logx2 3 = 1;

7)

log

 

(4x + 144)

¡

4 log

 

 

2 = 1 + log

(2x¡2 + 1);

8)

 

 

5

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

log2(log5(x

 

¡ 4x)) = 2;

 

 

 

 

 

 

9)

j2 ¡ log3 xj + 3 = j5 ¡ log3 xj;

 

 

 

 

 

 

 

log3(log2 x ¡ 1)2 = (p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

5)log5 4;

 

 

p

 

 

11)

x2 ¢ log2 x2 ¡ (2x2 + 15) log4(2x + 3) = 10 log2(

 

x

);

2x

+3

12)

log1=3(log4(x2 ¡ 5)) = 0;

 

 

 

 

 

 

13)

 

4 log4 x ¡ 2

+

 

1 + log2 x

= 4;

 

 

 

 

 

14)

log

 

2

¡

log

4

x +

7 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

p x

 

 

 

 

 

 

 

p6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15)

logx+4 j ¡ x2 ¡ 3x + 7j = 1;

 

 

 

 

 

 

16)

logx 2 ¡ 2 log4 x = 38 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17)

log2x(x2 ) ¢ log22 x + log24 x = 1;

 

 

 

 

 

 

 

lg(p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18)

x+1+1)

= 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lg px¡40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19)

log

 

(

3 ) + log2 x = 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

x

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Розв’язати системи:

 

 

 

 

 

 

 

lg2 x = lg2 y + lg2(xy);

 

xy = yx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

(3x = 15y;

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

(lg2(x ¡ y) = lg x ¢ lg y:

16

ЗАНЯТТЯ 3 ТРИГОНОМЕТРIЯ. НЕРIВНОСТI

Контрольне запитання 1. Основнi тригонометричнi формули.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

1) Знаючи, що

 

3¼

 

< ® < 2¼; знайдiть: sin ®;

tg ®; ctg ®; якщо

 

 

cos ® =

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Знайдiть sin ® + cos ®; якщо sin ® cos ® = 12 ; де 0 < ® < ¼ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(® + ¯);

sin(®

 

¯);

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

4

5 ;

 

3) Знайдiть

 

¡

якщо

sin ® = 0; 6; sin ¯ =

 

 

 

 

 

¼

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

причому 0 < ® <

2

;

2

< ¯ < ¼:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Знайдiть найбiльше i найменше значення виразу 3 sin ® + (cos ® +

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®

¡

sin ®)2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 sin ®)

+ (3 cos2¼

 

4¼

+sin

5¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Обчислiть

 

 

sin

 

3

+sin

3

3

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

5¼

+cos

7¼

+cos

11¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спростiть вираз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

sin ® cos ®(tg ® + ctg ®);

 

2)

 

sin ®+sin 5® :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ®+cos 5®

 

 

 

 

 

 

5.

Розв’язати рiвняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

sin 2x + cos 7x = 0;

 

 

2) cos 3x + cos

5x

= 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Розв’язати нерiвностi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

x¡1

¸

2x

¡

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

x7

¸

2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

< 0; 03;

 

 

 

 

 

2)

x ¡25x+4

·

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

j

 

 

 

 

 

3)

x

4x ¡4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

< 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) j2x ¡ 1j < jx ¡ 1j:

 

 

 

Розв’язати нерiвностi з iррацiональностями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

< 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

< x;

 

 

 

 

1)

x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

x2 ¡ x ¡ 12

 

 

 

 

2)

px + x > 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

px2 + x ¡ 2 > x ¡ 2;

 

 

 

 

5)

p

 

 

> x ¡ 3:

 

 

 

8.

 

 

 

 

x2 ¡ 4x

 

 

 

Розв’язати логарифмiчнi нерiвностi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

log

0;3

(3x

¡

8) > log

0;3

(x2 + 4);

 

2)

log

 

3x¡5

·

1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x+1

 

 

 

 

9.Розв’язати показниковi та степенево-показниковi нерiвностi:

1)1 < 3x · 27;

2)¡3 · 25x ¡ 4 ¢ 5x < 5;

3)(x ¡ 3)x2+x < (x ¡ 3)7x¡5;

1 3

4)jx + 2jx2+x¡6 ¸ jx + 2jx+3 :

17

sin1 x ;

10. Розв’язати нерiвностi:

1)

sin 2x · 0;

 

 

 

 

5)

tg x ¸ 0;

 

 

2)

cos x ¸ 1;

1

;

 

 

6)

sin x cos x > 0;

 

3)

cos 3x

¸ ¡2

 

 

7)

x

·

cos x;

 

 

 

 

 

 

sin 2

 

 

 

4) tg 3x ¸ 1;

 

 

 

 

8)

7 tg x ¡ 8 tg x + 1 < 0:

 

 

 

 

 

 

 

Б3

 

 

 

 

 

1. 1) Знаючи, що

 

3¼

< ® < 2¼; знайдiть: cos ®;

tg ®;

ctg ®; якщо

 

2

sin ® = ¡1312 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

< ® <

¼; знайдiть: cos ®;

tg ®;

ctg ®; якщо

2) Знаючи, що

2

sin ® = 52 :

 

tg ® + ctg ®;

якщо sin ® + cos ®

=

1; 4; де ® –

3)

Знайдiть

гострий кут.

4)Знайдiть sin4 ® + cos4 ®; якщо sin ® cos ® = 35 :

5)Знайдiть sin4 ® ¡ cos4 ®; якщо sin2 ® ¡ cos2 ® = 12 :

6)Знайдiть tg2 ® + ctg2 ®; якщо tg ® + ctg ® = 2:

7)Знайдiть + ¯); якщо cos ® = 4 ; sin ¯ = ; причому

0 < ® < 2 ; 0 < ¯ < ¼2 : 5 13

8)Знайдiть sin 2®; cos 2®; tg 2®; якщо cos ® = 0; 8 i ® – кут 4 чвертi.

2.Знайдiть найбiльше i найменше значення виразу

1)1 + 4 cos2 ® + 3 sin2 ®;

2)5 tg ® ctg ® ¡ (sin2 ® ¡ cos2 ®):cos(®¼ 5

3.

 

 

sin 5¼ +sin 7¼ +sin 11¼

Обчислiть cos 2¼ +cos 4¼ +cos 5¼ :

 

 

6

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

3

3

 

3

 

 

Спростiть вираз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 3¯

 

 

sin 3¯

 

 

 

 

1)

 

 

+

 

;

 

cos 3¯¡sin 3¯

cos 3¯+sin 3¯

2)2 sin2 ® + 2 cos2 ® + tg2 ® + ctg2 ®;

3)4 sin ® cos ®(cos2 ® ¡ sin2 ®):

5. Розв’язати рiвняння

1)

cos(3x

+ ¼ ) =

1;

¼ 6

¡

2)

tg(x ¡

8 ) = 0;

 

3)

p

 

ctg(x + ¼ ) = 1;

3

4)

 

 

 

4

 

sin x ¡ sin 3x = 0;

5)

sin 5x + cos 5x = 1;

6)cos 3x ¡ cos 5x = 0;

7)sin4 x + cos4 x = 58 ;

8)6 ctg2 x ¡ 2 cos2 x = 3;

9)ctg4 x = cos2 2x ¡ 1;

10)4 cos x ¡ ctg x ¡ 1 =

18

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

11)

sin

 

x + cos

 

x = sin 2x ¡ 0; 5; 14)

 

 

 

= 1 + cos 4x;

 

 

 

1¡tg2 2x

 

12)

1 + sin 2x = sin x + cos x;

 

15) sin 2z ¡ sin 6z + 2 =

0;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

13)

tg

 

3x ¡ 2 sin

 

 

 

3x = 0;

 

16) 4 sin x + tg x + 1 =

 

:

 

 

 

 

 

cos x

6. Довести тотожнiсть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

sin¡1 2® sin¡1(¼3 ¡ 2®) sin¡1(¼3 + 2®) = 4 sin¡1 6®;

 

 

2)

sin ® ¢ sin(x ¡ ®) + sin2(x2 ¡ ®) = sin2 x2 ;

 

 

 

 

 

 

1 ¡4

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

4 sin4

2® + cos 2® = cos

 

® + cos

 

®;

 

 

 

 

 

 

4)

 

sin6

®+cos6

®¡1

 

 

= 32 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

®+cos

®¡1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Розв’язати нерiвностi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

2

¡

 

 

2

<

 

 

 

3

;

 

4)

2x6 · 3;

 

 

 

 

 

 

x 2

x

1

 

 

(x

2)2

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

5)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

> 0;

 

3x ¸ ¡1;

 

 

 

 

 

 

 

2

¡ 7x¡4¡3x

2

 

6)

 

 

 

 

3x¡2¡x

 

 

 

 

x

 

5

 

12;

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ¡

j ¸

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

> 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

jxj > jx + 1j:

 

 

 

 

4+3x¡x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Розв’язати нерiвностi з iррацiональностями:

 

 

 

 

 

1)

p

 

 

< 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

p

 

 

< x;

 

 

2 ¡ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x ¡ 20

 

 

 

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

x + 3 > x:

 

 

 

 

 

x + 3x + 2 < 2x + 5;

 

 

 

 

9.Розв’язати логарифмiчнi нерiвностi:

1)log1=2(x ¡ 7) > 4;

2)lg(x + 1) > lg(5 ¡ x);

3)log1=3 3x¡1 < 1;

q x+2

4)log3 2x¡3 < 1; p 1¡x

5)1 ¡ log5(x2 ¡ 2x + 2) < 2 log25(5x2 ¡ 10x + 10);

6)logx+1(x2 ¡ x + 1) < 1;

7)log1¡x(x2 + x ¡ 2) ¸ 1;

8)log4¡x(x2 ¡ x ¡ 2) < log4¡x(x + 6);

9)log3(3x ¡ 1) log3(3x+2 ¡ 9) > 3;

10)logx2+3x(x + 3) · 1:

19

10. Розв’язати показниковi та степенево-показниковi нерiвностi:

1)

10

x2

· 1;

 

 

 

 

 

 

4)

(3

 

3x¡5

< 1;

 

 

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

x) 3¡x

 

 

 

 

3)

¡

1

x2¡x

 

 

1

;x

 

 

 

6)

(x ¡

2)x2¡6x+8

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

¸

 

 

 

2)

0

3

 

 

4

x

 

<

9

+ 8

 

3;

 

¡

 

x2+2x

 

 

 

3

:

 

·

 

¡

6

¢

2

·

 

x + 1

j

 

x + 1

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

· j

 

 

 

11. Розв’язати нерiвностi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

cos 3x ¸ 0;

 

 

 

 

 

5)

ctg x > 0;

 

 

 

 

 

 

2)

sin x · ¡1;1

 

 

 

 

6)

sin 2x cos x · 0;

 

 

 

 

3)

cos 2x < ¡

2

;

 

 

 

7)

tg x 2· sin x;

 

 

 

 

 

4)

ctg 3x · 1;

 

 

 

 

 

8)

2 sin

x ¡ sin x ¡ 1 ¸ 0:

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности