8) Модель «хижак-жертва».

Модель «хижак-жертва» - модель Вольтера.

Нехай в деякому районі будуть мешкати два види, які ми називатимемо «хижак» і «жертва». Хижаки харчуються виключно жертвами, тоді як жертви харчуються рослинною їжею, яка завжди наявна в достатній кількості. У обох видів відсутня внутрішньовидова боротьба. Позначимо кількість хижаків Х(t) та жертв Y(t).

Динаміка популяції жертв, з урахуванням їх народження та загибелі описується диференціальним рівнянням:

d/dt*Y(t) = ηY(t) - μY(t) – βX(t)*Y(t);

Динаміка популяції хижаків описується рівнянням:

d/dt*X(t) = γβX(t)*Y(t) – δX(t).

Знайдемо стаціонарні значення зі співвідношення:

X’(t) = Y’(t) = 0;

Y⁰ = δ/(γ*β); X⁰ = α/β.

Зручно обезрозмірити систему рівнянь заміною змінних

X(t) = X⁰*x(t); Y(t) = Y⁰*y(t).

на функції x(t), y(t), що приводить до рівнянь:

y’(t) = α*y(t)*(1-x(t))

x’(t) = δ*x(t)*(y(t)-1)

Константа α = η – μ описує розмноження жертв з урахуванням їх природної загибелі;

β – їх зменшення внаслідок зустрічі з хижаками(«ефективність полювання»);

γ – коефіцієнт засвоєння їжі хижаками, щ охарактеризує розмноження хижаків;

δ – коефіцієнт, що враховує вимирання хижаків.

Y’(t) = αY(t) – βX(t)*Y(t);

X’(t) = γβX(t)*Y(t) – δX(t).

Фазова траєкторія системи при малих початкових відхиленнях чисельності хижаків і жертв від стаціонарних значень. Припустимо, що відбулося відхилення чисельності жертв від стаціонарного значення(точка 1, 2). Якщо число жертв зросло, то число хижаків також збільшується, але кількість жертв при цьому поступово почне зменшуватись(точка 3). Це спричинить зменшення числа хижаків(точка 4), а отже збільшення числа жертв(точка 1).

Суцільна лінія X(t), пунктир Y(t).

9. Загальна модель біологічних ресурсів. Правильне керування скороченням споживання біологічних ресурсів.

Нехай Х – біомаса ресурсів

Нехай Т – час

Нехай С буде (fixed) кількість споживачів

Нехай F(X) – коефіцієнт зростання ресурсів

Нехай G(X) – споживання одним споживачем

dX / dT = F(X) – C G(X)

загальний приріст = зростання – споживання

Логістичне зростання – фіксована ємність середовища (відносна швидкість зростання)

Споживання за Холлінгом 3 типу – насичення та альтернативний відгук

Загальна модель для задачі збереження біологічних ресурсів

Припущення:

Модель передбачає незмінну кількість споживачів

Модель передбачає використання за встановленою технологією

Стадія 1 – природний баланс

Стадія 2 – виснаження ресурсу (споживання зростає до певного рівня)

Стадія 3 – неадекватна корекція (споживання зменшується до помірного рівня)

Стадія 4 – відродження (споживання зменшується до мінімального рівня)

Стадія 5 – відповідне споживання (споживання зростає до помірного рівня)

Розмірна модель

dx/dt = RX (1 – X/K) – C (QXквадрат/(Aквадрат+ Xквадрат))

Загальний приріст = зростання – споживання

Ця модель містить 4 параметри – забагато для аналізу!

Обезрозмірення зменшує кількість параметрів.

Х/А безрозмірна популяція; RT безрозмірний час

t = RT, x = X/A

Обезрозмірена версія

dx/dt = cx (1/c (1 – x/k) – x/(1+x квадрат) )

k відповідає за ємність середовища

с відповідає за число споживачів

(зменшення A збільшує k і c)

1/c (1 – x/k) > x/(1+xквадрат) – збільшення ресурсу

1/c (1 – x/k) < x/(1+xквадрат) – зменшення ресурсу

Мале споживання – високий рівень ресурсу

Високе споживання – низький рівень ресурсу

Помірне споживання – два можливих рівня ресурсу