Module1_theory_zadachi
.doc-
Сума геометричних векторів (означення). Довести, що операція додавання векторів комутативна і асоціативна, тобто для довільних векторів
-
Добуток геометричного вектора на число (означення). Довести, що для довільних дійсних чисел , для довільного вектора виконується
-
Означення рівності двох геометричних векторів. Довести, що для довільного дійсного числа , для довільних векторів виконується
-
Добуток геометричного вектора на число (означення). Довести, що для довільних дійсних чисел , для довільного вектора виконується
-
Означення векторного простору. Навести приклад векторного простору (з доведенням).
-
Означення лінійно незалежної, лінійно залежної системи векторів. Довести, що два неколінеарних вектори на площині, три некомпланарних вектори в просторі є лінійно незалежними.
-
Означення лінійно незалежної, лінійно залежної системи векторів. Довести, що два вектори на прямій, три вектори на площині є лінійно залежними.
-
Означення лінійно незалежної, лінійно залежної системи векторів. Необхідна і достатня умова того, що система векторів є лінійно залежною (з доведенням).
-
Базис векторного простору, координати вектора в базисі (означення). Твердження про єдиність розкладу вектора за базисом (з доведенням).
-
Базис векторного простору, координати вектора в базисі (означення). Твердження про координати вектора, який є лінійною комбінацією заданих векторів (з доведенням).
-
Базис векторного простору (означення). Твердження про базис на прямій, на площині (з доведенням).
-
Базис векторного простору (означення). Твердження про базис в просторі (з доведенням).
-
Загальна декартова система координат (означення). Задача про поділ відрізка у заданому відношенні.
-
Ортонормований базис, прямокутна декартова система координат (означення). Задача про поділ відрізка у заданому відношенні.
-
Проекція точки на площину, вектора на площину (означення). Довести, що для довільної площини , довільних векторів виконується
-
Проекція точки на пряму, вектора на пряму в просторі (означення). Довести, що для довільних векторів прямої виконується
-
Проекція точки на пряму, вектора на площину (означення). Довести, що для довільних вектора числа , площини виконується
-
Проекція вектора на вектор (означення). Довести, що для довільних векторів виконується
-
Проекція вектора на вектор (означення). Довести, що для довільних векторів виконується
-
Скалярний добуток векторів (означення). Твердження про властивості скалярного добутку (з доведенням).
-
Скалярний добуток векторів (означення). Вираз скалярного добутку через координати векторів в довільному і ортонормованому базисі (з доведенням).
-
Скалярний добуток векторів (означення). Геометричні властивості скалярного добутку.
-
Векторний добуток векторів (означення). Довести, що
-
Векторний добуток векторів (означення). Довести, що для довільного дійсного числа виконується
-
Векторний добуток векторів (означення). Довести, що
-
Вираз векторного добутку через координати векторів в довільному і ортонормованому базисі (з доведенням).
-
Мішаний добуток векторів (означення). Довести, що мішаний добуток векторів за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, який побудований на цих векторах.
-
Мішаний добуток векторів (означення). Довести, що мішаний добуток векторів є додатним (від’ємним), якщо ці вектори є правою (лівою) трійкою.
-
Мішаний добуток векторів (означення). Довести, що мішаний добуток векторів дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли вектори є компланарними.
-
Мішаний добуток векторів (означення). Довести, що Довести, що якщо переставити місцями два вектори в мішаному добутку, то знак мішаного добутку зміниться на протилежний. Довести, що мішаний добуток векторів лінійна функція кожного з аргументів.
-
Вираз мішаного добутку через координати векторів в довільному і ортонормованому базисі (з доведенням).
-
Подвійний векторний добуток (означення). Довести, що
-
Подвійний векторний добуток (означення). Довести, що
-
Алгебраїчна лінія на площині, алгебраїчна поверхня в просторі (означення). Навести приклад алгебраїчної лінії на площині, алгебраїчної поверхні в просторі.
-
Рівняння площини, яка проходить через задану точку, паралельно двом неколінеарним векторам (у виді мішаного добутку і у виді мішаного добутку в координатній формі) (з доведенням).
-
Рівняння площини, яка проходить через задану точку, паралельно двом неколінеарним векторам (векторно-параметричне і параметричне рівняння) (з доведенням).
-
Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (у виді мішаного добутку і у виді мішаного добутку в координатній формі) (з доведенням).
-
Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (векторно-параметричне і параметричне рівняння) (з доведенням).
-
Довести, що рівняння площини в ДСК є рівнянням першого порядку. Загальне рівняння площини.
-
Довести, що рівняння першого порядку в ДСК є рівнянням площини. Загальне рівняння площини.
-
Рівняння площини, яка проходить через задану точку, перпендикулярно до заданого вектора (з доведенням). Знаходження відстані від точки до площини.
-
Рівняння прямої в просторі (векторно-параметричне, векторне, параметричне, канонічне) (з доведенням).
-
Рівняння прямої в просторі через дві точки (векторно-параметричне, векторне, параметричне, канонічне) (з доведенням).
-
Загальне рівняння прямої в просторі. Зведення загального рівняння прямої в просторі до канонічного.
-
Канонічне рівняння прямої в просторі. Знаходження відстані від точки до прямої в просторі.
-
Канонічне рівняння прямої в просторі. Знаходження відстані між двома мимобіжними прямими просторі.
-
Заміна базису в просторі. Взаємозв’язок між координатами вектора в старому і новому базисі. Випадок ОНБ.
-
Заміна ДСК в просторі. Взаємозв’язок між координатами точки в старій і новій ДСК. Випадок ПДСК.
-
Заміна базису на площині. Взаємозв’язок між координатами вектора в старому і новому базисі. Випадок ОНБ.
-
Заміна ДСК на площині. Взаємозв’язок між координатами точки в старій і новій ДСК. Випадок ПДСК.
Типи задач модульної контрольної № 1
Задача 1
Задано вектори Знайти
-
-
-
перевірити, якою (правою чи лівою) буде трійка векторів
-
об’єм паралелепіпеда, який побудований на векторах
-
перевірити, чи будуть вектори компланарними.
-
об’єм тетраедра, який побудований на векторах
-
Задача 2
-
Скласти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно прямим і
-
Скласти рівняння площини, яка проходить через точки паралельно вектору
-
Скласти рівняння площини, яка проходить через точки паралельно вісі Ox (або Oy, Oz).
-
Скласти рівняння площини, яка проходить через точку і пряму
-
Скласти рівняння площини, яка проходить через точки паралельно прямій
-
Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно вектору
Задача 3
-
Знайти відстань від точки до площини
-
Нехай . Чи перетинає площина відрізок ?
-
Знайти відстань між паралельними площинами і .
Задача 4
-
Знайти проекцію точки на площину [
-
Знайти проекцію точки на пряму
-
Знайти точку, яка симетрична точці відносно прямої площини
-
Знайти точку, яка симетрична точці відносно прямої
-
Звести загальне рівняння прямої до канонічного.
-
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .