Механика_сплошной_среды_

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(rot F ) Si [rot F (M i )]

ni [rot F (M i )] Si .

Поэтому если докажем, что

ni [rot F(Mi )] Si

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

06.03.2016

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Получилась формула (П.5.2). Наконец, посмотрим на определение ротора:

(rot

F )dV (П.3.3)

dS F.

(dS )

В отличие от выражения (а) здесь присутствует вектор

(вместо

f ) и век-

торное умножение (вместо обычного). Поэтому (а) преобразуется так:

(rot

F )dV dS F

dV ,

(dS )

отсюда

rot F i F j F

k F

(Pi Qj

Rk )x

(Pi

Rk ) y

(Pi

Qj Rk ) z

i (R Q ) j(R P ) k (Q

P )

6. Оператор Гамильтона

Введѐм специальный символ

(6.1)

называемый оператором Гамильтона, или оператором набла2.

Оператор преобразует, переводит величину в другую величину, Он обладает свойствами и вектора, и производной. Применение оператора к какойлибо величине назовѐм «умножением» оператора на эту величину.

1. «Умножение» на числовую функцию f		f (x, y, z) даст градиент этой функ-
ции:
	f grad f .	(6.2)

 f

(6.1) i

(5.1)

grad f

2. Скалярное «умножение» на векторную функцию

(P, Q,

генцию:

F div F.

. ■

R) даст еѐ дивер-

(6.3)

2 Гамильтон Уильям Роуан (1805-1865) – ирландский математик, механик и астроном.

Набла (греч.) – арфа, щипковый музыкальный инструмент треугольного вида.

 F

(6.1)

(P,Q, R)

(5.2)

3. Векторное «умножение» на векторную функцию F

rot F.

divF. ■

(P, Q, R) даст еѐ ротор:

(6.4)

■

 F

(P, Q, R)

(5.3)

rot F.

7. Вычисление расхода через произвольную поверхность

Расход жидкости, или поток поля скоростей

сквозь поверхность

(S ) вы

можете найти по формуле

N v

V dS

dx dy,

( S )

( D)

( '

, '

в которой (S) : (x, y, z) 0 – уравнение поверхности,

) – нор-

мальный вектор поверхности, (D) – проекция поверхности на плоскость Oxy.

Если поверхность (S ) замкнутая, то расход можно найти по формуле Остро- градского-Гаусса:


V div v dV ,
(V )
где (V ) – область внутри (S ).
8. Циркуляция векторного поля

Вообразим, что в векторном поле F	имеется замкнутая линия (L).
Циркуляцией Ц векторного поля
Циркуляцией Ц векторного поля	F по контуру (L) называется величина

Ц	F	dr.

(L)

Циркуляция – это работа силы F , совершаемая при движении вдоль (L).

Пусть бесконечно малая площадка (dS) ограничена замкнутой линией (dL). Циркуляцию вдоль (dL) обозначим dЦ .

Величина dЦ называется плотностью циркуляции (циркуляция на еди- dS

ницу площади) вокруг элементарной площадки (dS) .

9. Формула Стокса

Теорема. Если поверхность (S) натянута на контур (L), то


F	dr dS (rot F ).			(П.9.1)
( L)	(S )
 Мысленно разобьѐм (S) на кусочки и пронумеруем их. Получим кусочки
(S1 ), (S2 ), , ограниченные контурами (L1 ),				(L2 ), , ориентированными
против часовой стрелки. У каждого кусочка (Si )				( i номер кусочка, i 1, 2, )

имеется вектор площадки Si	ni Si ,	где	ni – единичный вектор, нормальный

к (Si ) и согласованный с ориентацией контура (Li ) (рис. 9.1).

Так как циркуляция аддитивна, то левая часть формулы (П.9.1) запишем так:


F	dr		F	dr.
( L)		i	( Li )

Правую часть формулы (П.9.1) запишем так:

( Li )

то формула (П.9.1) будет доказана.

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Построим цилиндр с основанием ( Si ) и высотой h, параллельной 9.2). Обозначим (S) поверхность этого цилиндра. Его объѐм равен Vi

поэтому

. Преобразуем левую часть формулы (а):

n [rot F (M

)] S

{[rot F (M

)] V } (П.1.5)

( S )

(а)

ni (рис.

h Si ,

n dS,

ni (dS

F )

нормальк (dS)

ni (n

F ) dS

(ni n) F dS.

( S )

Поверхность (S)

цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхно-

сти. Поэтому интеграл разбивается на сумму трѐх интегралов:

(ni n) F dS

( S )

Следовательно,

(ni n) F dS

( Si верхнего осн )

Здесь поэтомуni n,

ni n 0

(ni n) F dS

( Si нижнего осн )

Здесь тоже
Здесь тоже	n		n,
	i
поэтому ni n		0

(ni n) F dS

( Sбок )


	(ni n) F dS.

( Sбок )

	1
ni [rot F(Mi )] Si		(ni n) F dS.	(б)
	h

( Sбок)

Здесь dS – площадь элемента (dS) боковой поверхности (Sбок ). В качестве

(dS) возьмѐм лежащий на (Sбок )	прямоугольник площадью dS h dr (рис. 8.2),
	лежащего на линии (Li ) и ориентированного
в котором dr – длина вектора dr ,	лежащего на линии (Li ) и ориентированного
по этой линии. Тогда

(ni n) F dS

(ni n)

F dr.

( S

бок

)

( L )

Вектор

перпендикулярен обоим векторам

направлен вдоль единичного вектора

ni n. Значит, dr

(рис. 8.2), поэтому dr

(ni n)dr,


(ni n) F dr	F	dr.
( Li )	( Li )

В итоге равенство (б) запишется так:


ni [rot F(Mi )] Si	F	dr.
	( Li )

Получилась формула (а), и вместе с ней формула Стокса3. ■

10. Смысл градиента, дивергенции, ротора

1. Смысл градиента:

grad f – это вектор, направленный в сторону наискорейшего роста скаляра f и

по модулю равен наибольшей скорости роста		f .
2. Смысл дивергенции. Представим, что			течения некоторой
	F	есть скорость v

жидкости. Тогда

3 Стокс Джордж Габриель (1819-1903) – английский физик и математик.


дивергенция скорости v		(или div v ) равна расходу жидкости, вытекающей
через поверхность, охватывающую единичный объѐм:
				dV
		div v			.
		div v		dV	.
Значит,
						0	(в этом случае из (dV )
	если в области (dV ) имеется источник, то div v					0	(в этом случае из (dV )
	жидкость вытекает);
			0;
	если в (dV ) имеется сток, то div v		0;
						0.
	если в (dV ) нет ни стока, ни источника, то div v					0.
3. Смысл ротора:

rot F	– это вектор, направленный перпендикулярно площадке, вокруг которой
плотность циркуляции наибольшая, причѐм его модуль									равен этой наи-

								rot F

большей плотности циркуляции.

11. Закон Архимеда как следствие теоремы о градиенте

Имеется тело, занимающее область (Vт ), ограниченную поверхностью (S ).

Тело полностью или частично погружено в покоящуюся жидкость плотностиж . Найдѐм силу, действующую на тело со стороны жидкости.

На (S) мысленно выделим бесконечно малый участок (элемент) (dS). Обозначим через p давление на этом участке. Покажем, что сила давления, дейст-

вующая на элемент (dS) равна dF pdS. Для этого воспользуемся следующими фактами. В покоящейся жидкости давление p :

(а) действует по перпендикуляру к площадке (dS); (б) направлено внутрь области (Vт ).

Из (а) следует, что давление направлено
			площадки,
параллельно вектору dS		ndS	площадки,

где n – единичный вектор, перпендикуляр-
ный к (dS) и направленный наружу.
Из (б) следует, что давление направлено

противоположно вектору dS			(рис.	11.1).
Значит,	сила давления,	действующая на

элемент	(dS), равна dF	pdS. Интегри-
рование этого равенства по всей замкнутой
поверхности (S) даст суммарную силу				Рис. 11.1

			F pdS.
				(S )
Воспользуемся теоремой о градиенте:
				p dV .
			dS p	p dV .
			(S )	(Vт )
Тогда

		pdV .	(11.1)
F

(Vт )

Направим ось Oz вертикально вниз. Лежащий на нѐм единичный вектор k также будет направлен вниз. Давление внутри жидкости подчиняется закону

p p0 ж gz,	где p0 – давление на свободную поверхность жидкости, z – глу-
бина погружения.
Пусть тело	p			Под-
	полностью погружено в жидкость. Тогда p k	z	k ж g.

становка в (10.1) даст


	F		k ж g dV k ж g		dV k	ж gVт	,

		(Vт )		(Vт )		вес жидкости
где вектор ( k )	направлен вверх. Получилась формула Архимеда.

Рассмотрим общий случай: тело не полностью погружено в жидкость. Об-

ласть (Vт ) будет состоять из двух частей: часть (Vпогр ),

погружѐнная в жидкость,

и часть (Vнепогр), которая не погружена в жидкость. В таком случае

ж gz для (Vпогр),

для (Vнепогр).

Отсюда

g для (V

p k

погр

для (Vнепогр).

Подставив в (11.1), будем иметь

p dV

(

)k.

ж погр

(Vпогр )

(Vнепогр ) 0

Получили формулу Архимеда для не полностью погружѐнного тела.

12. Расход невязкой несжимаемой жидкости как следствие уравнения неразрывности

1) Несжимаемость	жидкости	означает, что const, поэтому		0,
			t
				(а)
( v) (3.9) 0, ( v) 0, отсюда v 0.
	сквозь замкнутую поверхность (S ), ограничивающую об-
Поток вектора v

ласть (V ), равен


Q v	n dS \|По формуле Остроградского-Гаусса\|=
(S )

( v) dV (а) 0.

(V )

Итак,


Q v	n dS 0.	(б)
(S )

Вся поверхность (S ), ограничивающая объѐм (V ) жидкости, состоит из трѐх

частей: боковой поверхности трубы (Sбок ) и сечений (S1 )

и (S2 ) (рис. 3.6). Поэто-

му

n dS

v n dS

n dS (б) 0.

(Sбок)

(S1 )

(S2 )

Первый член суммы равен нулю, потому что сквозь боковую поверхность

трубы нет течения. Значит,

v n dS

n dS 0.

(в)

(S1 )

(S2 )

На

поверхности

(S1 )

имеем

v v1 ,

(рис. 12.1),

поэтому

cos 180 o v .

Рис. 12.1

v n

cos 0o v2 .

На поверхности (S2 ) имеем v

, n

, поэтому v

(в)

v1 dS v2 dS 0, или v1 dS v2 dS.

(г)

(S1 )

(S2 )

(S1 )

(S2 )

Итак, для несжимаемой жидкости выполняется равенство (г).

2) Невязкость жидкости означает, что стенки сосуда не оказывают сопротивления движению, и слои текущей жидкости не тормозят друг друга. Значит, v1 const во всех точках сечения (S1 ) и v2 const в сечении (S2 ). В этом случае

(г) v1			v2					, т.е. Q vS const. ■
(г) v1		dS	v2		dS, или v1S1		v2 S2	, т.е. Q vS const. ■
	(S1)			(S2)		Q	Q
						1	2
	S1			S2

13. Парадокс гидростатики

В механике сплошной среды существует множество парадоксов. Рассмотрим один из них.

Два лѐгких конических сосуда одинаковой ѐмкости и высоты наполним водой (рис. 13.1). При их взвешивании весы покажут одинаковый результат mg, где

m масса воды в каждом сосуде.

В сосудах высота H жидкости одинакова, поэтому на дно каждого сосуда действует одинаковое давление p gH (без учѐта атмосферного давления). По-

этому на дно сосуда а действует сила F1 pS1 , на дно сосуда б действует сила F2 pS2 . Так как S1 S2 , то F1 F2 .

Рис. 13.1

Следовательно, весы, казалось бы, должны показывать разный результат. Противоречие разрешается просто: весы измеряют действующую на них

суммарную вертикальную силу. Так, если сложить все силы, действующие на

боковую стенку сосуда а, получим суммарную силу Fа , направленную вниз (рис. 13.2). Она добавится к силе F1 , также направленной вниз.

Рис. 13.2

А на боковые стенки сосуда б действует суммарная сила Fб , направленная вверх. Она уменьшит силу F2 , направленную вниз. В итоге в обоих слу-

чаях суммарная вертикальная сила оказывается одинаковой, и весы покажут один и тот же вес.

14. Измерение атмосферного давления

Мы живѐм на дне воздушного океана и испытываем на себе внешнее атмосферное давление, хотя его не замечаем, потому что оно уравновешено (скомпенсировано) давлением наших внутренних органов.

Впервые атмосферное давление измерил Торичелли. Он взял стеклянную трубку длиной около 80 см, закрытую с одного конца, заполнил ртутью и опустил открытым концом в чашку с ртутью (рис. 14.1). Часть ртути вылилась, и в трубке осталось ртути 76 см.

Этот столб ртути оказывает на горизонтальный участок O O давление

pртути ртути ghртути

	10	3 кг			9.81	м		(0.76	м)	1.01 10	5	Па.
				3			2			1.01 10		Па.
13.6
			м			с

Рис. 14.1

В чашке на эту же горизонтальную плоскость действует наружное атмосферное давление, равное 1 атм. Следовательно,

760 мм рт. ст. = 1.01· 105 Па = 1 атм.

Прибор для измерения атмосферного давления называется барометром. Если бы вы захотели уравновесить атмосферное давление водой, вам потребовалась бы труба длиной не менее 10.34 м. Ясно, что водяной барометр такой длины слишком велик для измерения атмосферного давления.

Глоссарий

Механика – раздел физики, излагающий о равновесии, движении тел, о взаимодействиях между ними.

Сила – величина (или степень) воздействия на тело. Обозначается

обычно F.

Механика сплошной среды (МСС) – раздел физики, излагающий о равновесии, движении и свойствах деформируемых тел, жидкостей и газов.

Сплошной – не имеющий промежутков, перерывов.

Вектор площадки – вектор, перпендикулярный площадке и дли-

ной, равной площади площадки. Обозначается обычно S или dS.

Нормаль – то же, что перпендикуляр. Нормальный = перпендикулярный.

Перпендикуляр – прямая линия, образующая угол 90 с другой прямой или плоскостью.

Массовая сила – сила, приходящаяся на единицу массы вещества

инезависимая от присутствия других частей вещества.

		F		dF
Если обозначить массовую силу w,	то w		или w		.
		m		dm

Единица массы (единичная масса) – масса, равная единице (1 кг в СИ).

Единица времени – время, равное единице (1 секунда в СИ).

Единица площади (единичная площадь) – площадь, равная

единице (1 м2 в СИ).

Например, квадрат со сторонами единица есть единица площади.

Поверхностная (или контактная) сила – сила, действующая на поверхность в результате контакта.

Напряжение – поверхностная сила, приходящаяся на единицу площади.


			F		dF
Если обозначить напряжение	f , то	f		или f		.
			S		dS

Давление – поверхностная сила, действующая по перпендикуляру на единицу площади.

Газ – вещество, между движущимися молекулами которого действуют силы отталкивания.

Идеальный газ – воображаемый газ, движущиеся молекулы которого взаимодействуют между собой только при столкновениях, подобно бильярдным шарам.

Жидкость – вещество, молекулы которого притягиваются друг к другу, но которое ещѐ способно течь.

Свободная поверхность жидкости – граница жидкости, соприка-

сающаяся с газом или с другой жидкостью.

Математический аппарат – математические правила, методы, приѐмы.

Исчисление – правила символьных преобразований.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.09.2019154.11 Кб8Метрология и ее разделы1.doc
#
17.03.20152.01 Mб353Метрология-учебник.doc
#
19.09.20195.54 Mб16метЭконометрикаПлетнев_ред2.doc
#
06.03.20162.86 Mб93Механика сплошной среды .doc
#
17.03.201560.42 Кб17механика.doc
#
06.03.20161.41 Mб23Механика_сплошной_среды_.PDF
#
17.03.2015174.44 Кб40Миграция хим элементов.docx
#
17.03.201530.26 Кб50МИКРО И АНГЛ.docx
#
06.03.20163.86 Mб23Микроклимат и световая среда.docx
#
21.09.201913.55 Mб8минерал(8 - 40 вопросы).doc
#
07.09.201933.39 Кб3МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ.docx