Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика_сплошной_среды_

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

06.03.2016

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Рис. 1.9

Из (а) находим

атм

700 9.8 2 105

11.6 м.

в g

1000 9.8

Из (б) находим

в ghx

в ghв рт gh рт pатм . Подставив

в gh в из (а), будем

иметь

бh б рт hрт

700 2 13600 0.5

0.72

м.

1000

1.4. Закон Архимеда

Выталкивающая сила направлена вверх и равна весу жидкости(газа) в объѐме погруженной части тела.

Посмотрите на рис. 1.9. Нижняя часть тела находится в слоях с

большим давлением, чем верхняя. Этим и объясняется существова-

ние выталкивающей (архимедовой) силы FA .

Заменим тело жидкостью. Пусть масса жидкости, замещающей тело, равна mж (рис. 1.10). Уровень жидкости при этом не изменяется,

значит, на эту массу действует такая же выталкивающая сила, что и на тело.

Рис. 1.9	Рис. 1.10
Масса mж неподвижна, следовательно,	действующая на неѐ ар-

химедова сила уравновешена силой тяжести mж g :

FA mж g.

Правая часть представляет собой вес жидкости: Pж mж g.

Строгое доказательство формулы дано в Приложении 2.

Архимедова сила прилагается к точке D

– центру давления жидкости.

Пусть силы FA и Pтела не лежат на одной

вертикали (рис. 1.11). В таком случае вращательный момент этих сил не будет равным нулю, и он заставит тело повернуться так, чтобы обе силы расположились на одной вертикали. Эти Рис. 1.11 силы отвечают за устойчивость морских и

речных судов.

Если вес тела Pтела меньше выталкивающей силы

FA , тело будет

всплывать до тех пор, пока эти силы не сравняются. Поэтому выполнение равенства

FA Pтела

есть условие плавания тела.

З а д а ч а 1. Резервуар, имеющий собственный вес G 1000 Н, высоту H 4 м и квадратное основание со стороной a 5 м, заполнен бензином и погружѐн в воду (рис. 1.12). Определить давление р на дно резервуара и глубину h

погружения,

если б 880 кг/м3 , в 1000кг/м3.

(Объѐмом стенок резервуара

пренебречь.)

На дно резервуара давит столб бензина высотой H , поэтому

p б gH 880 9.8 4 34496 Па.

Резервуар с бензином плавает, поэтому выполняется условие FA Pтела . (а)

Объѐм бензина V a2 H,

объѐм подводной части V

a 2 h (на рис. 1.12 этот объ-

ѐм ограничен пунктирной линией). По-

этому

a2 H g, F

a2hg.

тела

mб

mв

Подстановка в (а) даѐт

a2hg G

a2 Hg.

Отсюда

G бa 2 Hg

1000 880 5

2 4 9.8

3.5 м.

Рис. 1.12

вa 2 g

1000

9.8

1.5. Жидкость в неинерциальной системе отсчѐта

Рассмотрим две задачи.

1. Сосуд с жидкостью плотности движется поступательно с

постоянным горизонтальным ускорением a (на рис. 1.13 влево). Найти уравнение свободной поверхности жидкости.

Свободной называется поверхность жидкости, граничащая с газом (например, с воздухом) или с вакуумом.

Введѐм систему координат Oxz, связанную с сосудом (рис. 1.13).

Относительно этой системы жидкость неподвижна, поэтому можно использовать уравнения гидростатики (1.2). Определим, какая линия получится при пересечении плоскости Oxz со свободной поверхностью жидкости.

В задаче участвуют две переменные x, z, поэтому в систе-

ме уравнений (1.2) оставим два уравнения.

На каждый элемент жидкости действует сила тяжести

mgk

и сила инерции

Fин ma

ma i ,

так как a

(на рис.

направлены противоположно). Суммарная си-

1.13 видим, что a

и i

ла равна

Fин

P ma i

mgk

(ma, mg ).

Рис. 1.13

Находим массовую силу

(a, g), т.е. wx a, wz g.

Подстановка в уравнения (1.2) даѐт систему уравнений

		p
	a	x
		x
		p
	g	p
		z

Решаем первое уравнение:

a p 0,x

dp adx,

p ax C(z). (а)

Подставим p во второе уравнение системы.

g z [ ax C(z)] 0,

g C(z) 0,z

	C(z) gz C.
Значение C(z) подставим в (а):
p ax gz C.	(б)
В точке О, т.е. при x 0, z 0,	давление равно p pатм .
Подстановка в (б) даѐт pатм a 0 g 0 C, C pатм.
Полученное значение C pатм	подставим в (б):

p ax gz pатм .

На свободной поверхности p pатм , тогда ax gz 0, z ga x

– уравнение свободной поверхности.

2. Цилиндрический сосуд вместе с жидкостью плотности равно-

мерно вращаются с угловой скоростью вокруг вертикальной оси цилиндра. Найти уравнение свободной поверхности жидкости.

Опыт показывает, что при вращении жидкость будет прижиматься к стенке сосуда за счѐт силы инерции (рис. 1.14).

Направим ось Oz вдоль оси вращения вниз. Введѐм систему координат Oxyz, связанную с сосудом. Мысленно рассмотрим произволь-

ную частицу жидкости массы m. От оси

к этой частице проведѐм вектор

xi y j,

перпендикулярный Oz. Частица движется с

центростремительным

ускорением

2r , направленным к оси вращения

цс

Oz (рис. 1.14). Значит, на неѐ действует си-

ла инерции

m2 (x i

y j ).

ин

цс

На частицу действует также сила тяжести

mgk. Поэтому суммарная сила, действую-

щая на частицу,

равна

Рис. 1.14

F m 2

(xi y j ) mgk.

Находим массовую силу:

(x i

y j ) gk ,

т.е.

y, g).

w (

Относительно системы координат Oxyz жидкость неподвижна, по-

этому можно использовать уравнения гидростатики (1.2):

2 x p 0,

(а)

Решение системы даѐт следующий результат: свободной поверхностью жидкости является параболоид вращения:

z 2 (x2 y 2 ). 2g

Выведем это равенство. Решим первое уравнение системы (а):

p	2 x,	dp 2 x dx,
x

d p 2 x dx,	p 2	x 2	C( y, z).	(б)

	2

Чтобы найти C( y, z), подставим (б) во второе уравнение системы (а). Получим

			x	2
				2
2 y		2			C( y, z) 0,
2 y		2			C( y, z) 0,
	y		2
					2 y	C( y, z)	0.
						y

Это уравнение имеет такой же вид, как и первое уравнение системы. Поэтому

его решение подобно (б): C( y, z) 2

y 2

C(z). Подставим это значение в (б):

2 x 2

y 2

C(z)

) C(z).

(в)

Чтобы найти C(z), подставим (в) в третье уравнение системы. Будем иметь

(x2 y 2 ) C(z)

g C(z)

dC(z) gdz, C(z) g z C.

Подставим значение C(z) в (в):

) g z C.

(г)

Чтобы найти C,

воспользуемся начальным условием: в точке О: p pатм ,

т.е.

p(0,0,0) pатм . Подставив эти значения в (в), получим C pатм . Подставим это значение в (г):

	2
p		(x 2	y 2 ) g z pатм .	(д)
	2

Применим это равенство к свободной поверхности жидкости. На всей свободной поверхности давление одинаково и равно p pатм . Подставим это значение

в (д):

pатм		2	(x 2 y 2 ) g z pатм ,

	2
	2
отсюда
z	2			y 2 ). ■
z			(x2	y 2 ). ■
	2g

Глава 2

ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Гидродинамика – раздел МСС, в котором рассматриваются условия и закономерности движения жидкостей и газов под действием приложенных сил.

2.1. Скалярное и векторное поля

Время будем обозначать t, произвольную точку в пространстве –

M .

Поле – функция от точки и времени.

Так как функция может быть скалярной либо векторной, то и поле бывает скалярным или векторным.

Обычно рассматривают физические поля, т.е. функции, являющиеся физическими величинами. Примеры физических полей:

– плотность (M ,t); это скалярное поле (поле плотностей, поле плотности);

–		это векторное поле (поле скоростей, поле скорости).
	скорость v(M ,t);

Поле, не меняющееся во времени, называют стационарным или

установившимся.


В этом случае вместо (M ,t) пишем (M ), а вместо v(M ,t) пишем v(M ).

В пространстве введѐм систему координат Oxyz. Произвольная

точка M будет иметь координаты		x, y, z, поэтому вместо (M ,t) и

v (M , t) можно писать (x, y, z,t) и v(x, y, z,t).
Подробно о полях сказано в Приложении, п. 1.

П р и м е ч а н и е.	Каждый вектор F	F (M , t)	в пространстве Oxyz	можно

спроецировать на оси координат и получить три координаты. Если их обозна-

чить F1 (M ,t), F2 (M ,t), F3 (M , t),		то вектор			можно написать либо в полной
чить F1 (M ,t), F2 (M ,t), F3 (M , t),		то вектор		F	можно написать либо в полной
форме в виде суммы:

F (M , t) F (M,t)i F (M,t) j F (M,T)k ,
1			2			3
	F	F1i	F2 j	F3k

либо в краткой:

F(M,t) (F1 (M,t), F2 (M,t), F3 (M,t)),

F (F1, F2 , F3 )

2.2. Линии тока и траектории

Линия тока – воображаемая линия, идущая вдоль векторов v

поля скоростей (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Рис. 2.2


Итак, векторы v касаются линий тока. Как найти уравнение ка-
кой-нибудь линии тока?

В пространстве введѐм систему координат Oxyz. Тогда скорость v
	(v1 , v2 , v3 ). На
будет задаваться тремя координатами v1 , v2 , v3 , т. е. v

линии тока выделим бесконечно малый кусочек и получим вектор

(рис. 2.2). Так как векторы

лежат на одной

dr (dx, dy, dz)

прямой, их координаты пропорциональны:

Уравнения линии тока

Переменные величины x, y, z являются координатами перемен-

ной точки М, бегущей по этой линии.

В нестационарном поле векторы могут менять свои направления. Вместе с ними и линии тока с течением времени могут менять свою форму. Значит, линии тока – это воображаемые линии, соответствующие фиксированному моменту времени, их мгновенная фотография. По линиям тока двигались бы частицы, если бы их скорости оставались такими же, как в этот фиксированный момент времени.

Если поле скоростей стационарно, то линии тока не меняются и совпадают с траекториями движущихся частиц.

Траектория – это линия, по которой движется частица. Траектория определяется системой уравнений

x	v ,
	1
y	v2 ,
z	v	.
	3

З а д а ч а

Дано поле скоростей жидкости

v (x t)i (x z2 t) j

zk.

Найти ли-

нии тока и траектории движущихся частиц.

Имеем: v

x t,

x z 2

t, v

– координаты скорости.

1) Линии тока задаются двумя дифференциальными уравнениями:

x t

z 2

Решаем

первое

уравнение:

Так как

время

фиксировано,

x t

t const,

то интегрированием

получим

x t

C z

x t C z,

x C1z t.

Решаем второе уравнение:

. Подставим найденное значение

x z 2

x C z t :

. Отделим переменные, dy (С z)dz

и проинтегрируем

С1z z 2

обе части. Получим

y С z

z 2

Итак, линии тока описываются системой уравнений

x C1z t,

z 2

(а)

y С1z

2 .

Найдѐм линию тока, которая в момент t 0 проходит через точку M 0 (8, 1, 4).

Подставив данные значения в (а), получим C1 2,			C2 15. Значит,
x 2z t,
	z 2
	z 2
y 2z		15.
y 2z		15.
	2

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Наличие переменной t говорит о том, что с течением времени эта линия изменяет свою форму и положение в пространстве. Так, в момент времени t 0 линия тока задаѐтся системой

x 2z,
	z 2
	z 2
y 2z		15,
y 2z		15,
	2

а в момент t 3 эта линия превратится в линию

x 2z 3,
		2
	z	2
y 2z			15.
y 2z			15.
	2

Графики этих линий показаны на рис. 2.3 и 2.4.

2) Траектории частиц задаются тремя дифференциальными уравнениями:

		x x t,

			x	z	2	t,
		y	x	z		t,
		z	z.

где точки над буквами обозначают				производные по			времени. Например,
x	dx	v .
x		v .
	dt	1
	dt
Первое уравнение (оно линейное)				имеет решение			x A et t 1. Решение
							1

третьего уравнения z A et . Подставим эти значения во второе уравнение. По-
	3
лучим y A et A2e2t 1. Его интегрирование даст					y A et	A2	e2t t A .
						3		Зна-
								Зна-
1	3				1	2	2
						2
чит,
	x A et t 1,
		1
			A2
			A2
	y A1et		3	e2t t A2 ,				(б)
	y A1et		2	e2t t A2 ,				(б)
			2
	z A3et .

Мы нашли уравнения траекторий.

Покажем, что эти траектории не совпадают с линиями тока (а). Из третьего

уравнения системы (б) имеем et z . Подставим в остальные равенства:

z 2

z t 1,

t A .

Обозначив

A ,

получим

x C1z t 1,

z 2

y C1z

t C2 .

Видим, что эта система уравнений отличается от (а).

2.3. Расход жидкости

Расход – это объѐм жидкости, протекающей сквозь воображаемую проницаемую поверхность за единицу времени.

	помес-
В пространство, где течѐт жидкость или газ со скоростью v ,

тим воображаемую неподвижную бесконечно малую площадку (dS),

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.09.2019154.11 Кб8Метрология и ее разделы1.doc
#
17.03.20152.01 Mб353Метрология-учебник.doc
#
19.09.20195.54 Mб16метЭконометрикаПлетнев_ред2.doc
#
06.03.20162.86 Mб93Механика сплошной среды .doc
#
17.03.201560.42 Кб17механика.doc
#
06.03.20161.41 Mб23Механика_сплошной_среды_.PDF
#
17.03.2015174.44 Кб40Миграция хим элементов.docx
#
17.03.201530.26 Кб50МИКРО И АНГЛ.docx
#
06.03.20163.86 Mб23Микроклимат и световая среда.docx
#
21.09.201913.55 Mб8минерал(8 - 40 вопросы).doc
#
07.09.201933.39 Кб3МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ.docx