Механика_сплошной_среды_

Вычтем это выражение из (а):

31

ния пластины с постоянной скоростью, к ней нужно приложить определѐнную постоянную силу F. Раз пластина движется не ускорен-

но, значит, на неѐ действует нулевая суммарная сила. Следователь-

но, внешнюю силу F, которую мы прикладываем, уравновешивает

противоположно направленная сила трения жидкости о пластину.

Обозначим еѐ Fтр.

Выполняя этот опыт при различных S , y, v (как это делал Ньютон), можно убедиться, что

- растёт при увеличении площадипластины S; Fтр : - растёт при увеличениискорости перемещения v;

- уменьшается при увеличениирасстояния y.

Рис. 3.2

Коэффициент называется динамической вязкостью; он зави-

сит от типа жидкости и еѐ состояния (например, от температуры). Опыт показывает, что при нагревании вязкость жидкости уменьшается, а газов – растѐт.

Относительно верхней пластины нижняя пластина движется с той же скоростью v, но в обратную сторону, влево. Значит, на ниж-

нюю пластину действует сила Fтр .

Формула (3.1) определяет не только силу трения, действующую на пластину, но и силу трения между соприкасающимися слоями жидкости.

Для слоѐв, находящихся на расстоянии dy, скорости отличаются

33

3.2.Течение жидкости в круглой трубе

Всоответствии с рис. 3.2, при течении в круглой трубе скорость жидкости равна нулю около стенок и максимальна на оси трубы (рис. 3.3). Иначе говоря,

Найдѐм закон изменения скорости v частиц жидкости в зависимости от их расстояния r до оси трубы радиуса R.

В трубе выделим воображаемый цилиндрический объѐм жидкости радиуса r и длины L (рис. 3.4).

У цилиндра площадь боковой поверхности равна S (2 r)L, по-

этому со стороны внешней среды на боковую поверхность действует сила

Fтр (3.2) 2 rL dvdr .

На торцы цилиндра действует сила давления p1 r2 p2 r2 ( p1 p2 ) r2 .

Цилиндр движется равномерно (не ускоренно), поэтому действующая на цилиндр суммарная сила равна нулю:

2 rL dvdr ( p1 p2 ) r 2 0.

Решаем полученное дифференциальное уравнение:

34

Найдѐм поток вектора скорости сквозь поперечное сечение трубы (т.е. найдѐм объѐмный расход жидкости), применив формулу (2.2):

Так как (S ) – круг, вычисления удобно вести в полярных координатах. Тогда

dS r d dr,

(S) : 0 2 ,

0 r R.

Подставив сюда значение (3.4), получим

По формуле Пуазейля можно определить вязкость жидкости:

R4 p1 p2 . 8V L

35

Числовые значения в правой части определяются из условий эксперимента.

3.3. Ламинарное и турбулентное течения

Пусть жидкость вытекает из сосуда по горизонтальной стеклянной трубке (рис. 3.5). В капилляр будем впускать ту же, но окрашенную жидкость и смотреть, какая струйка будет течь по горизонтальной трубке.

Если сечение горизонтальной трубки мало и скорость мала, то окрашенная струйка будет двигаться прямолинейно, не смешиваясь с остальной прозрачной жидкостью. Такое течение называется слоистым,

или ламинарным.

Если сечение горизонтальной трубки увеличивать или увеличи-

вать скорость течения, появится не-регулярное движение частиц

ями. Такое течение называют турбулентным.

Формула Пуазейля справедлива только для ламинарного течения.

Введѐм безразмерную величину

Переход ламинарного течения в турбулентное происходит при некотором критическом числе Рейнольдса Reкр . Это значение силь-

но зависит от формы входной части трубы:

для закруглённого входа

При стационарном турбулентном течении скорость в данной точке

36

пространства случайным образом меняется во времени, но среднее

значение направлено вдоль оси трубы. Средняя скорость остаѐт-

vср

ся постоянной по всему сечению, и только в тонком пограничном слое у стенки трубы падает до нуля (рис. 3.6).

Рис. 3.6

На практике при турбулентном течении используется формула

Сравнение формул (3.8) и (3.9) показывает, что повышение скорости прокачки жидкости по трубам потребует при турбулентном течении большего перепада дав-

фик зависимости скорости прокачки от перепада давления показан на рис. 3.7.

3.4.Тело в потоке вязкой жидкости

Вреальной, вязкой жидкости результирующая сила, действующая на тело, не равна нулю, т.е. поток всегда действует на тело с некоторой силой. Если ось симметрии тела направлена вдоль потока, то сила, с которой поток действует на тело, называется силой ло-

бового сопротивления.

Рассмотрим обтекание потоком шара радиуса r. Зависимость силы Fс лобового сопротивления от числа Рейнольдса показана на

рис. 3.8.

37

При малых скоростях течения, когда Re 102 , сила пропорциональна скорости, F ~ v. Это происходит потому, что из-за наличия

тонкого пограничного слоя на шар действуют силы вязкости. Толщина пограничного слоя оценивается по формуле

Рис. 3.8

Например, в конце линейного участка, где Re 102 , толщина10r – в 10 раз меньше радиуса шара. Вне этого слоя жидкость те-

чѐт так же, как и невязкая, симметрично обтекая шар спереди и сзади.

При малых числах Рейнольдса сила лобового сопротивления, действующая на шар, рассчитывается по формуле Стокса:

Fc 6 vr.

Вязкость жидкости можно определить, наблюдая движение в ней тел. Так, при падении шара в жидкости, его скорость подчиняется уравнению движения

m dvdt mg FA Fc .

В начале падения шар набирает скорость, затем устанавливается постоянная скорость и движение становится равномерным. В этом

38

(а), получим ш 43 r3 ж 43 r3 6 vr 0, отсюда

2r 2 ( ш ж ). 9v

Определив в эксперименте равномерную скорость v, по этой формуле рассчитываем вязкость.

При больших скоростях потока, когда Re 102 , симметрия обтека-

ния относительно вертикальной оси (на рис. 3.9 – пунктирная линия) нарушается – позади шара происходит отрыв линий тока и образуется завихрѐнное пространство. Симметрии давления в точках M и M 1 уже нет.

По формуле Бернулли имеем

Рис. 3.9

сечения шара, перпендикулярного потоку. Следовательно, сила лобового сопротивления равна

v2

Fc CS 20 ,

где C коэффициент лобового сопротивления.

39

3.5. Уравнение неразрывности

В пространстве с движущейся жидкостью поместим воображаемую неподвижную замкнутую поверхность (dS), проницаемую для

частиц жидкости (рис. 3.10). Область пространства, оказавшуюся внутри (dS), обозначим через (dV ). Итак, (dV ) – неподвижная об-

ласть в пространстве, сквозь которую движутся частицы жидкости.

С другой стороны, масса жидкости, вытекающей из области dV за единицу времени, определяется по формуле (2.6). Значит, величины (2.6) и (в) одинаковы, но противоположны по знаку: