4. Теоретическая часть.

Устойчивость автоматической системы регулирования (АСР) является необходимым условием ее работоспособности. Переходный процесс в линейной системе описывается выражением

y(t) = + y_уст = у_п(t) + у_уст , (5)

где у_п(t) – переходная составляющая;

у_уст – установившаяся составляющая;

s_i – корни характеристического уравнения системы;

C_i – постоянные интегрирования.

Система называется устойчивой, если ее переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю.

(6-1)

Система называется не устойчивой, если переходная составляющая с ростом времени стремится к бесконечности.

(6-2)

Система находится на границе устойчивости, если переходная составляющая с ростом времени стремится к не равной нулю постоянной величине или предела не существует

Устойчивость системы зависит от коэффициентов ее характеристического полинома . Коэффициенты характеристического полинома в свою очередь зависят от параметров системы, например, от коэффициентов К₀ и К₁ регулятора.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического полинома имели отрицательные вещественные части.

Если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, то система не устойчива.

Если несколько не равных между собой корней имеют нулевую действительную часть, а остальные отрицательную, то система находится на границе устойчивости

Область изменения параметров, при которых система устойчива, называется областью устойчивости системы. Для выделения области устойчивости может использоваться критерий устойчивости Гурвица.

4.1. Построение области устойчивости

Рассмотрим процедуру построения области устойчивости для системы с П, И и ПИ – регуляторами. В случае ПИ регулятора

(2)

область устойчивости строится на плоскости в координатах К₁ и К₀.

Передаточную функцию объекта (4) запишем следующим образом

(7)

,

г

(8)

де

Рассмотрим несколько случаев.

1. П регулятор

(9)

Передаточная функция разомкнутой системы

Запишем характеристический полином замкнутой системы

(10)

и

(11)

ли

где .

Полином (10) имеет третий порядок, коэффициенты – постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (8)). Свободный член величина переменная и зависит от коэффициента усиления регулятора . Изменяя можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. С учетом этого, условия устойчивости по критерию Гурвица записываются следующим образом

(12)

Подставим в последние уравнения , тогда

(13)

и, разрешая их относительно , получим условия устойчивости

(14)

Критические значения коэффициента усиления получим, если знаки неравенств в (13) заменим на равенства, тогда

,(15)

Первое значение в формулах (15) соответствует так называемой апериодической границе устойчивости (). При этомкак легко видеть имеет нулевой корень. Второе условие определяет колебательную границу устойчивости. В системе существуют незатухающие колебания, а имеет пару чисто мнимых корней

Как следует из полученных формул коэффициент усиления регулятора (или, что эквивалентно, разомкнутой системы) ограничен сверху и снизу условиями устойчивости. Это свойство справедливо практически для всех систем.

2. И регулятор

Передаточная функция регулятора

(16)

Передаточная функция разомкнутой системы

(17)

Характеристический полином замкнутой системы

или (18)

где .

(19)

Полином (18) имеет четвертый порядок. Свободный член величина переменная и зависит от коэффициента усиления регулятора . Остальные коэффициенты, как и в случае с П регулятором, постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (19)). Изменяя можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. Условия устойчивости по критерию Гурвица для системы 4-го порядка с учетом сделанных замечаний записываются следующим образом [1,2]

, (20)

или после подстановки и

, (21)

Разрешая полученные неравенства относительно , найдем область устойчивости

(22)

Заменив в (21) знаки неравенств на равенства найдем критические значения

и (23)

И в этом случае коэффициент усиления ограничен сверху и снизу из условий устойчивости

3. ПИ регулятор

Передаточная функция регулятора

(1)

Передаточная функция разомкнутой системы

(24)

Запишем характеристический полином замкнутой системы

или (25)

где ,

(26)

Полином (25) имеет четвертый порядок. Свободный член и величины переменные и зависят от коэффициентов усиления регулятора и . Остальные коэффициенты постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (26)). Изменяя и можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. Условия устойчивости (20) после подстановки и записываются следующим образом

,(27)

Разрешая последние неравенства относительно ,получим

, (28-1)

(28-2)

Примерный вид области устойчивости в плоскости К₁, К₀ приведен на рис. 2.

Заменив в уравнениях (28) знаки неравенства на равенства получим уравнения граничных точек области устойчивости.

Область устойчивости на рис.2 согласно уравнениям (28) ограничена снизу осью К₁ (К₀ >0 ) и параболой (28-2) сверху.

Отрезок оси 0В есть область (отрезок) устойчивости И – регулятора (K₁=0). Точки 0 и В отвечают критическим значениям К₀ и определяются формулами (23). Любой отрезок параллельный оси К₀ в области устойчивости есть отрезок устойчивости относительно К₀ при некоторым фиксированном значении K₁. Отрезок АС оси K₁ есть отрезок устойчивости П - регулятора (К₀=0). Точки А и С отвечают критическим значениям К₁ и определяются формулами (15).

При построении области устойчивости целесообразно предварительно определить точки пересечения кривой с осями координат (К₀ = 0, К₁ = 0 – точки А, С и В соответственно). Поскольку условие К₀ = 0 соответствует пропорциональному регулятору W_p(s) = K₁ ,то точки прямой К₀ = 0 на рис. 2 могут входить в область устойчивости системы.