Розв’язування.

1. Розглянемо рух механічної системи, що складається з тіл 1, 2, 3, з’єднаних нитками. Система має один ступінь вільності, тобто існує одне незалежне переміщення, яке однозначно визначає положення системи. За узагальнену координату вибираємо переміщення тіла, прискорення якого треба знайти, тобто переміщення вантажу 1. Тоді узагальнена швидкість – це швидкість вантажу 1.

;

Запишемо рівняння Лагранжа II роду для обраної узагальненої координати:

. (6.1)

Визначимо кінетичну енергію системи, як суму енергій тіл системи. Враховуючи, що тіло 1 рухається поступально, шків 2 обертається навколо нерухомої осі, а рух котка 3 - плоский, отримаємо

, (6.2)

де моменти інерції шківа 2 (маса розподілена на зовнішньому ободі) і однорідного котка 3 радіусом відповідно дорівнюють:

, . (6.3)

Виразимо швидкості, що входять в (6.2) через узагальнену швидкість. Врахуємо, що точка К (рис.Д6.б) дотику з похилою площиною для тіла 3 є миттєвим центром швидкостей:

(6.4)

Підставимо (6.3) і (6.4) в рівняння (6.2), отримаємо:

. (6.5)

Кінетична енергія залежить тільки від узагальненої швидкості , тому, підставляючи (6.5) у ліву частину рівняння (6.1), отримаємо

(6.6)

2. Визначимо узагальнену активну силу:

. (6.7)

Зобразимо діючі на систему активні силиі момент(рис.Д6.б). Задамо системі можливе переміщення, при якому узагальнена координатазростає, тобто>0. Враховуючи напрямок можливого переміщення вантажу 1, покажемо можливі переміщення кожного з тіл: для тіла 2 – поворот на кут, для котка 3 – переміщення центру мас. Для визначення узагальненої активної сили обчислимо суму можливих робіт сил та моменту на заданому можливому переміщенні системи. Отримаємо:

(6.8)

Виразимо всі можливі переміщення через , враховуючи, що залежності між переміщеннями аналогічні залежностям (6.4) між швидкостями, і отримаємо:

(6.9)

Остаточно, узагальнена активна сила, з урахуванням (6.8) і (6.9), буде мати вигляд:

(6.10)

5. Підставимо (6.6) і (6.10) в рівняння Лагранжа IIроду (6.1):

(6.11)

Підставимо числові значення та знайдемо прискорення вантажу 1 (вважаємо ).

Відповідь: .

Завдання Д-7. Малі вільні коливання механічної системи

Умова завдання. Механізм, що розташований у вертикальній площині (рис. Д7.0 – Д7.9), складається із ступінчастих коліс 1 і 2 з радіусами, що обертаються навколо нерухомих осей; однорідного стержня 3 довжиною, закріпленого шарніром; вантажів 4 та 5, підвішених до ниток, намотаних на колеса. Маса коліс 1 і 2 розподілена на зовнішніх радіусах. Відстань.

Стержень 3 з’єднаний з колесом 1 невагомим стержнем 6. Колеса 1 і 2 знаходяться в зачепленні або з’єднані невагомим стержнем 7. До коліс та стержня 3 прикріплені пружини.

В табл.Д7 задані маси тіл та коефіцієнти жорсткостіпружин. Прочерки в стовпцях означають, що відповідні тіла або пружини в систему не входять (на рисунку не зображати). Остаточно в кожному варіанті залишається простий механізм, що містить три або два тіла. Стержень 6 або 7 входять в склад механізму, коли до нього входять обидва тіла, що з’єднуються цим стержнем.

В положеннях, показаних на рисунках, механізм знаходиться в положенні стійкої рівноваги.

Визначити:

1. Частоту та період малих коливань системи біля положення рівноваги.

2. Статичну деформацію пружини в положенні рівноваги.

Табл.Д7

Номер умови	m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	m5, кг	c1, Н/м	с2, Н/м	c3, Н/м
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	12 10 16 20 - 18 12 16 20 10	16 8 12 - 18 14 - 10 16 -	- 4 - - - 6 8 - - 6	8 - - 6 - - 4 - 8 4	- - 6 - 4 - - 4 - -	1200 - - 1500 - 1000 - 800 - 1000	- - 800 - 1000 - - - 1200 -	- 1000 - - - - 1200 - - -

Теоретичне обґрунтування : [5] § 147, 148 ; [6] Разд.ІІІ. Гл.7. § 1-3 ;

[7] § 128 ; [8] , [9] , [13].

Методичні вказівки. Завдання Д-7 на тему “Малі лінійні коливання механічної системи поблизу положення рівноваги”. На систему діють тільки потенціальні сили, тому коливання будуть вільними. Для розв’язку задачі треба використати рівняння Лагранжа II роду:

, (Д7.1)

де або- узагальнена потенціальна сила;

(- кількість ступенів вільності системи);

(- кількість потенціальних сил, що діють на систему);

- кінетична енергія системи;

- і-та узагальнена координата;

- і-та узагальнена швидкість;

- узагальнена потенціальна сила, що відповідає і–ій узагальненій координаті (при розв’язуванні конкретних задач зручно позначати через ).

- сума можливих робіт потенціальних сил, що відбуваються на можливому переміщені системи за умовою, що >0;

- можливе зростання узагальненої координати (>0);

- потенціальна енергія системи.

Кількість рівнянь Лагранжа II роду, що складається для розв’язування задачі, повинна дорівнювати кількості ступенів вільності, тобто кількості незалежних можливих переміщень, що має система.

У наведеному завданні система має один ступінь вільності, тому потрібно скласти лише одне рівняння Лагранжа ІІ роду. Після обчислення лівої і правої частини цього рівняння воно може бути записано у вигляді диференціального рівняння малих вільних коливань:

, (Д7.2)

де кругова частота малих вільних коливань.

Період коливань визначається за формулою:

(Д7.3)

Розглянемо два приклада розв’язування цього завдання.

Приклад Д-7.1

Механічна система (рис. Д7.а), що знаходиться в положенні стійкої рівноваги, складається з вагомого однорідного стержня 1, довжиною , диска 2, маса якого розподілена на радіусі, і вантажу 3. Маси тіл відповідно дорівнюють. Тіла з’єднані між собою за допомогою невагомих стержнів. В точкахішарніри; в точці А прикріплена горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості.

Дано:

.

Визначити:

1. частоту та період малих коливань системи

поблизу положення рівноваги;

2. статичну деформацію пружини в

положенні рівноваги.

Розв’язування.

Система має один ступінь вільності, рівновага – стійка. На систему діють тільки потенціальні сили (сили ваги і пружна сила). Виведемо систему із стану рівноваги. Виберемо за узагальнену координату кут відхилення стержня 1 від вертикалі, вважаючи його малим (рис.Д7.б). Тобто маємо і. Запишемо рівняння ЛагранжаII роду:

(7.1)

Визначимо кінетичну енергію системи, як суму енергій тіл системи. Враховуючи, що стержень 1 обертається навколо нерухомої осі , диск 2 - навколо нерухомої осі, а тіло 3 - рухається поступально, маємо:

, (7.2)

де моменти інерції однорідного стержня 1 довжиною і шківа 2 (маса розподілена на ободі) відповідно дорівнюють:

, (7.3)

Виразимо швидкості, що входять в (7.2) через узагальнену швидкість :

(7.4)

Підставимо (7.3) і (7.4) у вираз (7.2):

(7.5)

Кінетична енергія залежить тільки від узагальненої швидкості . Визначимо похідні, що входять в ліву частину рівняння (7.1):

(7.6)

2. Визначимо узагальнену потенціальну силу, яка відповідає узагальненій координаті , за формулою:

(7.7)

Зобразимо діючі на систему сили та. Задамо системі можливе переміщення, при якому узагальнена координатазростає, тобто>0 , та покажемо можливі переміщення кожного з тіл: для тіла 2 – поворот на кут, для вантажу 3 – переміщення. Для визначення узагальненої потенціальної сили обчислимо суму можливих робіт сил на цьому можливому переміщенні системи:

(7.8)

Можливу роботу сили ваги замінимо можливою роботою моменту сили ваги відносно точки О₁, тобто:

,

бо плече між лінією дії сили і точкоюдорівнює.

Для сил івідповідно маємо:

, бо точка прикладення сили нерухома;

, бо кут між силою ідорівнює нулю.

Можливу роботу пружної сили замінимо можливою роботою моменту пружної сили відносно точки О₁, тобто

, бо плече між лінією дії сили і точкоюдорівнює.

Величина пружної сили залежить від деформації пружини:

,

де статична деформація пружини (в положенні рівноваги),деформація пружини, коли систему вивели із стану рівноваги.

Враховуючи (7.4), виразимо можливе переміщення вантажу через узагальнене можливе переміщення , а деформаціючерез узагальнену координату:

; (7.9)

Підставимо (7.8) і (7.9) в формулу (7.7) та отримаємо узагальнену потенціальну силу у вигляді:

(7.10)

Коливання малі, тому можна вважати ,Розкриємо дужки і будемо мати:

(7.11)

В положенні рівноваги (при ) узагальнена потенціальна силатобто:

(7.12)

звідси знайдемо статичну деформацію :

Таким чином, узагальнена потенціальна сила, враховуючи (7.12), остаточно буде мати вигляд:

(7.13)

3. Складемо рівняння Лагранжа IIроду. Підставимо (7.6) і (7.13) в рівняння (7.1):

(7.14)

Запишемо диференціальне рівняння малих вільних коливань у вигляді :

, тобто (7.15)

Підставимо числові значення, та знайдемо:

,

звідки кругова частота малих вільних коливань (с^-1),

а період коливань

Відповідь: .

Примітка.

Узагальнену потенціальну силу можна виразити через потенціальну енергію системи, тобто за формулою:

,

де потенціальна енергія системи в даному положенні, яка дорівнює роботі потенціальних сил при переміщенні системи з даного положення в початкове.

Потенціальна енергія системи складається з потенціальних енергій окремих потенціальних сил:

Потенціальну енергію пружної сили обчислимо за формулою:

, де .

Обчислимо також потенціальну енергію сил ваги.

Для сили ваги стержня 1:

Коливання малі, тому, розкладаючи функцію в ряд і залишаючи тільки член з, отримаємо. Остаточно для стержня

.

Для сили ваги диска 2: , бо центр ваги диска не рухається.

Для сили ваги вантажу 3: , де.

Остаточно потенціальна енергія системи:

.

Обчислимо узагальнену потенціальну силу:

,

що повністю збігається з формулою (11).

Приклад Д-7.2

Механічна система (рис. Д7.в) знаходиться в положенні стійкої рівноваги і складається з вагомого однорідного стержня 1 довжиною , диска 2, маса якого розподілена на радіусі, і вантажу 3. Маси тіл відповідно дорівнюють. Тіла з’єднані між собою за допомогою невагомих стержнів. В точкахішарніри; в точці А стержня 1 прикріплена вертикальна пружина з коефіцієнтом жорсткості.

Дано:

.

Визначити:

1. частоту та період малих коливань системи поблизу положення рівноваги; 2) статичну деформацію пружини в положенні рівноваги.