![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Міністерство освіти та науки України
- •Передмова
- •Вибір варіанту, рекомендації до виконання і вимоги до оформлення робіт
- •3. Динаміка Основні поняття
- •Алгоритм розв’язування задач динаміки, що пов’язані із складанням динамічних рівнянь руху
- •Завдання д-1. Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що знаходиться під дією постійних сил
- •Приклад д-1
- •Розв'язування.
- •Завдання д-2. Динамічні рівняння руху тіл
- •Завдання д-3. Теорема про зміну кінетичної енергії
- •Завдання д-4. Принцип д’Аламбера
- •Згідно до основного закону динаміки точки:
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •4. Література
- •П р и м і т к и
Приклад д-1
На рис.Д1.а зображена схема ділянки для навантаження і вивезення скрапу (технологічна обрізь металопрокату) в цеху гарячої прокатки заготовок.
Кусні
обрізі з бункера-нагромаджувача подаються
конвеєрним транспортером на плоский
похилий навантажувальний лоток
.
Кут нахилу лотка до горизонту -
.
Швидкість кусня в точці
лотка дорівнює
і співпадає з величиною швидкості руху
транспортерної стрічки конвеєра
.
Довжина лотка
дорівнює
.
Коефіцієнт тертя ковзання кусня по
лотку -
.
Після сковзання по ділянці
,
кусень в точці
набуває швидкості
,
після чого відривається від лотка і під
дією сили ваги падає у вагонетку. Місце
падіння – точка
дна
вагонетки, що знаходиться нижче лотка
на відстані
.
Визначити
Яку швидкість необхідно надати стрічці транспортера, щоб місцем падіння куснів обрізі була середина вагонетки (розмір
, рис.Д1.а)?
Як залежить дальність польоту шматків від їхньої маси?
Яку швидкість здобуває кусень обрізі в момент відриву від лотка ?
Дано:
Визначити:
- ?
- ?
- ?
Розв'язування.
Для дослідження
руху кусень обрізі заміняємо матеріальною
точкою масою
.
Рух точки від початку лотка
до місця падіння
умовно розіб'ємо на дві ділянки:
прямолінійну -
і криволінійну -
.
Сили, що діють на точку на кожній з
ділянок, постійні за величиною і
напрямком.
Розглянемо рух матеріальної точки на ділянці
. Система координат з початком у точці
показана на рис.Д1.а. Зобразимо точку на ділянці
в довільний момент часу (рис.Д1.б). Зобразимо сили, що діють на точку в цей момент часу. Цими силами є: вертикальна за напрямком сила ваги
; нормальна реакція похилої площини
і сила тертя ковзання
, спрямована уздовж площини лотка проти руху.
Запишемо динамічні рівняння руху точки в проекціях на обрані осі координат. Проекції сил, що співпадають з осями за напрямком, вважаємо додатними, а протилежні – від’ємними.
Якщо
координата
,
маємо
.
Тоді
із (1.2)
,
що дозволяє обчислити силу тертя
ковзання
.
Тепер,
якщо підставити значення
в (1.1), отримаємо:
;
Перетворимо (1.3) в
диференціальне рівняння шляхом заміни
.
Інтегруючи
(1.4) при
будемо мати:
Константу
визначимо з початкової умови:
.
Тоді :
Для
моменту часу
маємо
,
тобто
Аналогічно
інтегруємо рівняння (1.6), враховуючи, що
,
а
.
Одержимо:
Константу
визначимо з початкової умови:
.
Тоді:
Для
моменту часу
маємо
,
тобто
Розглянемо рух матеріальної точки на ділянці криволінійного руху
. Система координат з початком в точці
показана на рис. Д1.а. Зобразимо точку на ділянці
в довільний момент часу (рис. Д1.в). Зобразимо сили, що діють на точку в цей момент часу. На точку діє тільки одна сила - вертикальна сила ваги
(опором повітря нехтуємо). Запишемо динамічні рівняння руху точки в проекціях на осі координат:
Перетворимо рівняння (1.11) у диференціальне і розв’яжемо його.
Використовуючи
початкову умову
,
знаходимо
.
Тоді
Перетворимо (1.13) у диференціальне рівняння і розв’яжемо його.
.
З
початкової умови:
маємо
,
а
Підставляючи
в (1.14)
,
знайдемо координату
точки падіння
:
Перетворимо рівняння (1.12) у диференціальне і розв’яжемо його.
З
початкової умови:
маємо
Тоді
Перетворимо рівняння (1.16) у диференціальне і розв’яжемо його:
З
початкової умови маємо:
.
Тому
,
а
Підставляючи
в (1.17)
,
знайдемо координату
точки падіння
:
Розглянемо систему
рівнянь (1.7), (1.10), (1.15) і (1.18). Чотири
рівняння містять чотири невідомих
параметри:
і
,
тобто система має розв’язок. Після
підстановки відомих величин маємо
наступне:
Виконавши обчислення, отримаємо:
;
;
;
.
Частину із знайдених величин потрібно визначити за умовою задачі.
Аналіз рівняння (1.15) дозволяє відповісти ще на одне з питань умови - дальність польоту точки не залежить від її маси.
Відповідь.
Необхідна швидкість стрічки транспортера
.
Дальність польоту шматків обрізі не залежить від їх маси.
Швидкість кусня в момент відриву від лотка
.