Лабораторная работа № 9 Решение уравнений, систем уравнений и неравенств в среде пакета Mathcad

ЦЕЛЬ. Научиться решать уравнения, системы уравнений и неравенств в среде пакетаMathcad, изучить различные способы получения решений.

Основные положения

1. Решение уравнений в пакете Mathcad

Для решения уравнения, как известно, применяются графический, аналитический и численные методы. В среде пакета Mathcadуравнения мы будем решать комбинированно: графическим методом и, используя встроенные вMathcadфункции (они, в свою очередь, реализуют некоторые численные методы для решения уравнений, какие – узнаем позднее).

Итак, графическим решением уравнения является построение графика функции и определение точек пересечения функции с осью OX. Используя заготовку «Декартов график», вызываемую с панели графиков кнопкой(Shift-2) можно построить график функции. Изменяя границы построения графика функции по осям, графически определяются корни уравнения. Так на рис.1 показан график функции.

а) б)

Рисунок 1– График функции а) начальное приближение; б) уточнение корня на диапазоне [-1; 5]

При начальном построении автоматически получаем график функции на диапазоне [-10; 10]. Чтобы изменить диапазон, меняем соответствующие значения в заполнителях по осям. На рис.1 б) видны две точки пересечения с осью OX: в точке -0.4 и в точке 3.8. Поскольку заданная функция периодична – определение других корней не целесообразно. Найденные значения и являются графически решением уравнения.

Теперь рассмотрим некоторые существующие способы решения уравнения в пакете Mathcad.

Способ 1. Применение функции root

Функция rootможет быть вставлена вручную или же с помощью мастера функций, запускающегося с кнопки(рис.2). Синтаксически функцияrootзаписывается так:root(<Выражение>,<Переменная>), где <Выражение> – левая часть уравнения вида F(x)=0, нулевой корень которого следует вычислить; <Переменная> – указывается имя ведущей переменной уравнения, т.е. переменной, относительно которой решается уравнение. Определим с помощью этой функции корни уравнения(рис.3).

П

Рисунок 2 – Вставка функции root	Рисунок 3– Решение уравненияс помощью функцииroot

еред вставкой функции выбираем начальное приближение для переменнойx. Графически мы определили два корня: -0.4 и 3.8. Начальное приближение нужно задавать в окрестностях этих найденных значений. С помощьюфункции rootкорень может быть найден только один, поэтому если корней несколько – функцию придется применять несколько раз (рис.3).

Способ 2. Применение решающего блока Given и функции Find

Рисунок 4– Решение уравненияс помощью решающего блокаGivenи функцииFind

Еще одним удобным способом решения уравнений является использование решающего блокаGivenи функцииFind. Точно так, как и при применении функцииroot, изначально задается нулевое приближение для переменнойx. Далее вручную вносится зарезервированное системой словоGivenи ниже записывается уравнение в виде F(x)=0. Чтобы набрать приравнивание нулю используется кнопка(Ctrl+=) с панели «Булева алгебра», открывающаяся с кнопки– это будет логическое равенство. Данный способ применяется и для решения уравнений и неравенств.

Определим этим способом корни уравнения (рис.4). Поскольку корней – два, два раза определяем нулевое приближение и два раза создаем решающий блок.

Способ 3. Символьное решение уравнения

Е

Рисунок 5– Решение уравненияс использованием символьной функцииsolve

ще одним важным способом решения уравнения является его символьное решение. Выполняется такой расчет при помощи функции, которая вставляется с панели «Символьные» (кнопка). В результате расчета при помощи этой функции в виде вектора будут выведены все корни уравнения в пределах одного периода. Переменная, относительно которой производится расчет, ранее не должна быть определена на рабочем листе. Покажем решение все того же уравнения этим способом (рис.5).