- •Лабораторная работа № 7 Вычисление значений и построение графиков функции в среде пакета Mathcad
- •Основные положения
- •1. Основные приемы работы в пакете Mathcad
- •2. Работа с ранжированными переменными матрицами и векторами.
- •3. Построение графиков.
- •4. Оператор условного перехода.
- •Задание на лабораторную работу
- •Содержание отчета
- •Вопросы на защиту лабораторной работы
- •Индивидуальные задания
- •Основные положения
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Индивидуальные задания
- •Лабораторная работа № 9 Решение уравнений, систем уравнений и неравенств в среде пакета Mathcad
- •Основные положения
- •1. Решение уравнений в пакете Mathcad
- •2. Решение систем уравнений и неравенств в пакете Mathcad
- •2.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •2.2 Решение систем нелинейных уравнений (сну)
- •2.3 Решение систем неравенств
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Индивидуальные задания
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 10 Символьные вычисления, системы счисления, вычисления с единицами измерений в среде пакета Mathcad
- •Основные положения
- •1. Символьные вычисления в пакете Mathcad
- •I. Упростить выражение
- •II. Раскрыть скобки и привести подобные в выражении
- •4. Вычисления с масштабирование в пакете Mathcad
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Индивидуальные задания
- •Контрольные вопросы
- •2. Метод Ньютона
- •3. Метод хорд
- •4. Метод простых итераций
- •5. Пример решения Mathcad
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Индивидуальные задания
- •Контрольные вопросы
3. Метод хорд
Для реализации данного метода, нужно построить исходную функцию y=F(x) и найти значения функции на концах отрезкаF(a)иF(b). Затем провести хордуМ1M2 c концами в точках М1(a, F(a))и M2(b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хордыМ1M2 с осью OX это и есть приближенный корень x1. Далее найти точку M3(X1 ,F(x1 )), построить следующую хорду и найти второй приближенный кореньx2. И так далее. В зависимости от поведения функции возможныдва случая:
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Для первого случая(Рис. 1) справедлива следующаяформула(8):
и справедливо неравенство: F(a)*F''(a)>0, где x0=b.
Для второго случая(Рис. 2) справедлива следующаяформула(9):
и справедливо неравенство: F(b)*F''(b)>0, гдеx0=a.
Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона, т. е.:
4. Метод простых итераций
Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением
х = (х) (14)
Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение
х3- 9х + 3 = 0
можно представить так:
Пусть известен отрезок изоляции корня [a; b], тогда за начальное приближение искомого корня уравнения (14) берут: Подставляя значение х0в правую часть уравнения (14), получают первое приближение х1=(х0). В качестве второго приближения берут х2=(х1). Продолжая этот процесс дальше, получают числовую последовательность (хn), определенную с помощью рекуррентной формулы:
xn+1=(xn), (n= 0, 1, 2, ...) (15)
Полученная последовательность х0, х1, ..., xn, xn+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.
При пользовании методом итераций необходимо выяснить основной вопрос: сходится ли полученная последовательность (хn) к решению х*уравнения (14) при возрастании n? Если последовательность (хn) сходится, то есть существует пределто, переходя к пределу в равенстве (15) и, предполагая, что функция(х) непрерывна, получаем:
или x* = (x*). (16)
Следовательно, в этом случае х = х*является корнем уравнения х =(х), а значит, и уравнения F(x) = 0.
Если же последовательность (хn) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела построенной последовательности приближений (хn), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.
Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия:
‘(x) M1 < 1 (18)
для всех х,принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (14), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М1; если же‘(x)> 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величиныm1, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М1= max‘(x),где max берется по отрезку изоляции корня [а: b].
5. Пример решения Mathcad
Найти решение уравнения:
Примечание:TOL– системная переменная для задания точности вычислений.