5.1.7.4. Проверка гипотезы о нормальности ряда остатков.

Выполняется с целью использования этого свойства в дальнейшем при построении доверительных интервалов. Приближенная проверка этого свойства может быть выполнена следующим образом:

Рассчитываются коэффициент асимметрии и показатель эксцесса

, . (5.41)

Если выполняются соотношения:

, , (5.42)

то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается и доверительные интервалы прогнозов, построенные в предположении нормальности, будут достаточно надежными, если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то к доверительным интервалам следует относиться осторожно.

5.1.7.5. Проверка гипотезы о стационарности ряда остатков.

Если гипотеза о том, что отклонения от тренда представляют собой стационарный случайный процесс подтверждается, то при прогнозировании могут применяться методы прогноза для стационарных случайных процессов.

Процесс считается стационарным (постоянство среднего значения, дисперсии и автокорреляции в течении времени), если значение автокорреляционной функции зависит не от выбора начала отсчета наблюдений, а от величины сдвига =t_i-t_j, Для проверки этой гипотезы выполняются следующие действия.

1.Для случайного компонента E_t находятся значения автокорреляционной функции , где n - число наблюдений.

2.Исключается одно из крайних наблюдений (первое, либо последнее) и вычисляется новая автокорреляционная функция .

3.Подобным образом исключаются k (k=1,2,…,K) наблюдений и вычисляется (К+1) автокорреляционных функций. Таким образом, получим  групп коэффициентов корреляции в каждую из которых входит (К+1)-коэффициент. Для стационарного случайного процесса коэффициенты автокорреляции, входящие в одну группу, должны быть однородными.

4.Для проверки однородности рассчитывается ² - критерий. Для каждого , входящего в  - ю группу, вычисляется z - критерий:

. (5.43)

Для каждой группы  рассчитывается среднее значение:

. (5.44)

Для каждой группы вычисляется:

. (5.45)

Рассчитанное значение сравнивается с табличным при уровне значимости  и с k степенями свободы. Если рассчитанное значение меньше табличного, то гипотеза об однородности  - группы коэффициентов автокорреляции не отвергается.

Если гипотеза об однородности не отвергается для всех групп, то можно принять, что автокорреляционная функция зависит только от разности аргументов , т.е. случайный компонент представляет собой стационарный процесс.

5.1.8.Адаптивные модели и методы

5.1.8.1. Сущность адаптивных методов заключается в возможности построения корректирующих моделей, способных учитывать результаты прогноза, сделанного на предыдущем шаге. Это позволяет с помощью адаптивных моделей учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность. Быстроту реакции модели на изменение в динамике процесса характеризует так называемый параметр адаптации или параметр дисконтирования . Этот параметр должен быть выбран таким, чтобы обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений.

Все адаптивные модели базируются на двух схемах: схеме скользящего среднего (СС-модели) и схеме авторегрессии (АР-модели).

Согласно схеме скользящего среднего, каждый элемент ряда подвержен предыдущей ошибки. Оценкой текущего уровня является взвешенное среднее q предшествующих уровней, причем веса при наблюдениях убывают по мере удаления от последнего уровня.

В общем виде модель скользящего среднего имеет вид:

y_t = C + _t - ₁_t-1 -…- _q_t-q, (5.46)

где С - константа (среднее значение ряда);

_i - коэффициенты модели;

Другими словами, каждое наблюдение ряда представляет собой сумму случайной компоненты в данный момент и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.

В методах экспоненциального сглаживания убывание весов подчиняется экспоненциальному закону. Экспоненциальной средней первого порядка ряда Y_t будет выражение

S_t = y_t + (1-)S_t-1. (5.47)

Экспоненциальная средняя k-ого порядка вычисляется с помощью следующего рекуррентного выражения, выведенная Брауном:

. (5.48)

Такие модели хорошо отображают изменения, происходящие в тенденции, но в чистом виде не позволяют отображать колебания.

Согласно схеме авторегрессии оценкой текущего уровня является взвешенная сумма не всех, а p предшествующих уровней (AP(p)-модель):

y_t =  + ₁y_t-1 + ₂y_t-2 + … + _py_t-p + _t, (5.49)

где  - свободная составляющая ряда

_i - параметры модели, которые оцениваются либо с помощью метода наименьших квадратов, либо с помощью коэффициентов автокорреляции;

p - порядок модели авторегрессии, определяющий количество периодов, от которых зависит текущее значение y_t;

_t - случайная составляющая, имеющая нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Весовые коэффициенты в отличие от СС-модели не ранжированы. Информационная ценность наблюдений определяется не их близостью к моделируемому уровню, а теснотой связи между ними. АР-модели в максимальной степени приспособлены для описания закономерных колебаний в развитии показателя, но они менее применимы для описания нестационарных процессов.

Достоинства моделей авторегресии и скользящего среднего соединены в моделях АРСС: они отражают как изменения тенденции, так и периодические колебания, а также они применимы к нестационарным процессам.

В этих моделях для перехода от нестационарного процесса к стационарному используются конечные разности порядка d:

• для d=1 - это приросты y_t = y_t - y_t-1;

• для d=2 - это приросты приростов ²y_t = y_t - y_t-1;

• и т.д.

Такие модели называют моделями авторегресии скользящего среднего порядка (p, d, q) - АРИСС(p, d, q), где p - порядок авторегрессии; d - порядок разностей; q - порядок скользящего среднего.