5.1.9.Анализ сезонных колебаний

5.1.9.1. Анализ сезонной волны.

Динамика многих финансово-экономических показателей имеет устойчивую колебательную составляющую. При исследовании месячных и квартальных данных, часто наблюдаются внутригодичные сезонные колебания соответственно с периодом 12 и 4. При использовании дневных наблюдений, часто наблюдаются колебания с недельным (пятидневным) циклом.

Уровень сезонности оценивается с помощью:

1. индексов сезонности ;

2. гармонического анализа.

Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тренда f(t). При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года. Совокупность индексов сезонности, вычисленных по месячным или по квартальным данным за несколько лет (не менее 3), отражает сезонную волну. Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

Если тренда нет или он незначителен, то для каждого месяца (квартала) индекс рассчитывается по формуле:

; i=1, 2,…, 12 - если данные помесячные, (5.65)

или i = 1, 2, , 4 - если данные поквартальные.

где средний уровень показателя по одноименным месяцам (кварталам);

средний уровень для всего ряда.

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчета следующий:

1. находится подходящая функция выравнивания (тренд) f(t);

2. для каждого месяца (квартала) вычисляются теоретические уровни, рассчитанные по уравнению тренда;

3. рассчитываются показатели сезонности как процентное отношение фактического месячного (квартального) уровня y_t к соответствующему расчетному уровню y_t^*

; (5.66)

4. находится среднее арифметическое из показателей сезонности для одноименных месяцев (кварталов) по формуле:

; (5.67)

где N - число одноименных периодов.

5) определяется среднее значение индекса сезонности I_S, которое должно равно I_S = 100%.. Из-за влияния несезонных факторов это соотношение может не выполнятся. В этом случае следует произвести выравнивание индексов, которое заключается в умножении индексов сезонности на величину, обратную среднему индексу сезонности 1 /I_S;

После определения выравненных индексов сезонности можно найти уровни временного ряда, в которых элиминировано влияние сезонности. Для этого нужно фактические уровни поделить на соответствующие выравненные индексы.

Показателем колеблемости временного ряда за счет сезонности служит среднее квадратическое отклонение

, (5.68)

где m = 12 либо m = 4 соответственно для помесячных или поквартальных данных. Чем меньше значение , тем меньше влияние сезонного фактора ни исследуемый показатель.

Прогноз с помощью индексов сезонности на каждый следующий месяц (квартал) можно выполнить таким образом:

. (5.69)

где I_i,S - средний индекс сезонности i-ого прогнозируемого месяца,

y_t^* - оценка прогноза, вычисленная по уравнению тренда,

E_t - случайная компонента.

Другим методом изучения уровня сезонности (моделирование сезонных колебаний) является гармонический анализ. Его выполняют, представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов. Для построения модели выполняется следующий алгоритм:

1. находится подходящая функция выравнивания (тренд) f(t);

2. устанавливается тип связи между компонентами ряда (аддитивная или мультипликативная). Тип связи можно определить по динамике отклонений фактических уровней от тренда:

абсолютных (y_t^* - y_t); или

относительных (y_t^* - y_t)/y_t.

Если абсолютные отклонения имеют тенденцию к росту, а относительные варьируют приблизительно на одном уровне, то это свидетельствует о мультипликативной связи тренда и сезонной компоненты.

Тип связи можно определить и по нормальному распределению отклонений. Если абсолютные сезонные отклонения распределяются по нормальной кривой, то связь между компонентами ряда аддитивна, если же по нормальной кривой распределяются относительные отклонения, то связь между компонентами мультипликативна.

3. Далее производится выравнивание временного ряда, имеющего периодическую составляющую, при помощи гармонического анализа. Если исходить из предположения, что в будущем периоде сохранится амплитуда колебаний, то гармоническая модель может быть использована для оценки исследуемого показателя в перспективе. Однако при расчете значений функций следует исходить из значений предполагаемого тренда, а не среднего значения. В общем виде модель развития сезонного процесса можно представить так:

Аддитивная модель:

. (5.70)

Мультипликативная модель:

; (5.71)

где: y_t^* - расчетные значения по уравнению тренда;

t - номер наблюдения;

k - номер гармоники;

Общее число колебательных процессов, которые можно выделить из ряда, состоящего из Т уровней, равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник. Параметры гармоники с номером k (a_k, b_k) определяются следующим образом:

- отклонения от тренда;

(5.72)

. (5.73)

Таким ообразом при простом анализе сезонной волны вычисляются индексы сезонности. Если речь идет о выявлении сезонного компонента, то для этого необходимо использовать модель на основе гармонического анализа. В программе Statistica реализованы мощные методы сезонной декомпозиции рядов – Census 1 и Census 2, а также метод спектрального анализа.