5.1.8.2. Модели сс.

В различных методах прогнозирования процесс настройки (адаптации) модели осуществляется по-разному. Адаптивная модель определяется вектором оценок коэффициентов адаптивного полинома. Для случая линейной модели временного ряда (в данном пособии рассматриваются адаптивные методы только для линейной модели)

y_t = a₀ + a₁t + _t.

Существует множество адаптивных моделей, среди которых наиболее распространены следующие модели: экспоненциального сглаживания, модель Брауна, модель Хольта и т.д.

Многочисленные адаптивные методы базируются на этих моделях и различаются между собой способом числовой оценки параметров, определения параметров адаптации и компоновкой.

Прогноз в момент времени t на  шагов вперед может быть получен по формуле:

y_t() = a_1,t + a_2,t. (5.50)

СС-модели имеют два параметра:

a_1,t – оценка текущего уровня в момент времени t;

a_2,t – оценка текущего прироста;

 - период упреждения прогноза.

Эти параметры вычисляются последовательно от уровня к уровню и их значения для последнего n – го уровня определяют окончательный вид модели:

Экспоненциальные средние определяются следующим образом

(5.51)

Оценки коэффициентов адаптивного полинома определяются следующим образом:

. (5.52)

Начальные условия:

(5.53)

Модель Брауна

В модели Брауна модификация (адаптация) коэффициентов линейной модели осуществляется следующим образом:

a_1,t = a_1,t-1 + a_2,t-1 + (1 - ²)e_t; (5.54)

a_2,t = a_2,t-1 + (1 - )²e_t. (5.55)

где  - коэффициент дисконтирования данных;

e_t - ошибка прогнозирования,

Начальные значения параметров модели определяются по МНК на основе нескольких первых наблюдений. Оптимальные значения параметра дисконтирования находится в переделах от нуля до единицы и определяется методом численной оптимизации и является постоянным для всего периода наблюдений.

Модель Хольта

В модели Хольта коэффициенты линейной модели модифицируются по следующим соотношениям:

a_1,t = ₁ y_t + (1 - ₁) (a_1,t-1 + a_2,t-1); (5.56)

a_2,t = ₂ (a_1,t - a_1,t-1) + (1 - ₂) a_2,t-1; (5.57)

где ₁, ₂ - параметры экспоненциального сглаживания.

Начальные значения параметров модели находятся по МНК на основе нескольких первых наблюдений. Оптимальные значения параметров сглаживания ₁ и ₂ находятся в переделах от нуля до единицы. Они определяются методом многомерной численной оптимизации так, чтобы минимизировать ошибку прогнозирования на один шаг вперед:

|y_t - (a_1,t + a_2,t)|  min (5.58)

и являются постоянными для всего периода наблюдений.

Модель авторегрессии

Как было сказано выше в модели авторегрессии AP(p) порядка p текущий уровень ряда представляется в виде взвешенной суммы p предыдущих наблюдений. В матричной форме уравнение авторегрессии имеет вид:

Y_t = Y_pA + _t; (5.59)

Где: Y_t - вектор, содержащий элементы временного ряда от р+1 до n;

Y_p - матрица размером (n-p)p, каждый столбец которой содержит n-p элементов исходного временного ряда от p+1-j до n-j, j = 1, 2, … p.

Тогда по методу наименьших квадратов получаем матричное выражение для коэффициентов уравнения авторегрессии (по аналогии с 8.8):

. (5.60)

Порядок авторегрессии (величина p) определяется путем перебора, а его начальная оценка формируется на основе анализа автокорреляционной функции. Для процесса АР(р) теоретические значения частной автокорреляционной функции для лагов, больших р, равны 0. На основании этого свойства можно выбирать порядок модели авторегрессии для описания выборочных данных.

Если исследуемый ряд представляется в виде суммы двух составляющих - тренда F(t) и случайной составляющей E(t), то общий прогноз делается по обеим составляющим: путем простой экстраполяции по тренду и по модели авторегрессии для случайной компоненты. Сумма двух прогнозов дает общий суммарный прогноз для исследуемого ряда. Применение авторегрессионных моделей для прогнозирования ряда остатков выполняется в несколько этапов:

• Из временного ряда выделяется случайный компонент

• проверка гипотезы о независимости случайного компонента от времени;

• проверка гипотезы о стационарности случайного компонента;

• построение авторегрессионной модели для ряда остатков;

• проверка гипотезы о нормальном распределении ряда отклонений от расчетных значений, полученных по авторегрессионной модели;

• проверка независимости ряда отклонений от расчетных значений, полученных по авторегрессионной модели.

Если ряд остатков не является случайным и стационарным процессом, то от применения авторегрессионной модели для прогнозирования следует отказаться.

Если гипотеза о нормальном распределении и гипотеза о независимости ряда отклонений от расчетных значений, полученных по авторегрессионной моделы, отклоняются, то следует повысить порядок авторегрессии.

Прогноз случайной составляющей осуществляется следующим образом (запись в матричном виде):

E_t+ = A_1,pE^T_{t+-1,t-(p-1)} + z_t, (5.61)

где E_t+ - значение прогноза в момент времени t+;

A_1,p – вектор коэффициентов уравнения регрессии;

E^T_{t+-1,t-(p-1)} – транспонированный вектор значений предпрогнозных уровней;

 - период упреждения прогноза.

z_t - остатки ряда E_t, называемые "белым шумом".

В том случае, если временной ряд Y_t является стационарным случайным процессом (т.е. E_t = Y_t), то в уравнение прогноза вместо значений E_t берутся уровни ряда Y_t.

Вероятностные границы прогнозируемого значения y_t можно получить следующим образом:

, (5.62)

где - предсказанное точечное значение ряда;

t_ - коэффициент Стьюдента;

- оценка среднего квадратического отклонения случайной величины E_t;

. (5.63)