![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
789
.pdf![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S111x1.jpg)
V 2 Rg cos |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mV 2 |
|
mV |
2 |
mgR(1 cos ) . |
|
T T0 Aek ; . |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||
Из этого уравнения получим V 2 V0 |
2 2gR(1 cos ) . |
|||||||||||||||
Искомое положение шарика, когда он покинет купол |
||||||||||||||||
2 |
|
|
V |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
3Rg . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отрыв шарика от купола произойдет при угле : |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
3Rg |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шарик сойдет с купола верхней точке ( 0 и cos 1),при начальной скорости: |
||||
V 2 Rg cos gR |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 V |
|
|
|
Итак, если |
gR |
, то шарик сойдет с купола в верхней точке. |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
ЗАДАЧА 57 |
Однородный стержень АВ длиной l и массой m, закрепленный шарнирно на валу ОО1, вращается вокруг оси Оy с постоянной угловой скоростью ω. Стержень удерживается под углом α к вертикали при помощи горизонтальной тяги ВД . Найти реакции шарниров А и В.
Рис. 80
Решение
111
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S112x1.jpg)
Применим для решения задачи принцип Даламбера. Приложим к стержню силу тяжести
|
|
|
mg , составляющие реакции |
Х А |
и У А шарнира А вдоль осей координат, реакцию ХВ |
шарнира В. |
|
|
Рис. 81
Силы инерции точек стержня заменим равнодействующей нормальной силой инерции
Ф
Rn
RФ man m 2 |
l |
sin ; |
|
|
|||
n |
c |
2 |
|
, приложенной в точке К, причем |
|
|
.
Получена уравновешенная в любой момент времени система сил
|
|
|
|
|
|
|
||
(mg, X |
A |
,Y |
A |
, X |
B |
, RФ ) |
∞ 0, |
|
|
|
|
|
n |
||||
an 2 |
l |
sin |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
c |
|
2 |
|
|
|
– нормальное ускорение центра масс стержня (точки С); АС = СВ. |
||
|
|
|
|
|
Условия мгновенного динамического равновесия стержня имеют вид:
X A X B RnФ 0;
YA mg 0;
X Bl cos RnФ ( 23 l cos ) mg(12 l sin ).
Из составленной системы уравнений, с учетом значения силы RФ , последовательно
n
находим:
X B 12 mgtg 13 m 2l sin ;
YA mg;
X A 12 mgtg 16 m 2l sin .
ЗАДАЧА 58
112
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S113x1.jpg)
Однородный гладкий диск массы m и радиуса r установлен между валом ОО1 и стержнем АВ, прикрепленным к нему под углом φ. Стержень и вал вращаются с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Оу (рис. 27). Определить давление диска на стержень и вал.
Рис. 82
Решение Воспользуемся принципом Даламбера.
Рис. 83
|
|
|
|
|
Приложим к диску силу тяжести mg , реакцию вала NЕ и реакцию стержня |
S Д , а |
|||
|
|
|
|
|
также равнодействующую нормальную силу инерции |
RФ |
|
||
n всех точек диска, причем |
|
|||
RФ man m 2 R |
, |
|
|
|
n |
c |
|
|
где acn 2 R – нормальное ускорение центра масс диска (точки С).
Ф
Сходящаяся система сил (mg, NE , S Д , Rn ) является уравновешенной в любой момент времени.
113
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S114x1.jpg)
Составим уравнения мгновенного динамического равновесия диска (указанной выше сходящихся системы сил):
Fkx Фkx 0; |
|
NE RnФ S Д cos 0; |
|
|||||||||
Fky Фky 0; |
|
mg S Д sin 0 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RФ |
|
Из этой системы уравнений с учетом значения силы |
n находим: |
|||||||||||
S |
|
|
mg |
; |
N |
|
|
mg cos |
m 2 R |
|
|
|
Д |
|
E |
|
|
|
|
||||||
|
|
sin |
|
|
sin |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Давление диска на стержень и вал в точках В и Д равны соответствующим реакциям |
||||||||||||
стержня и вала |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
QД S Д ; |
PE NE . |
|
|
|
ЗАДАЧА 59
Груз массой m поднимается на тросе, навитом на барабан с горизонтальной осью вращения. Определить ускорение груза. Масса барабана равна m ; барабан считать однородным цилиндром. Трением в подшипниках вала барабана, массами вала и троса пренебречь.
Рис. 84
Решение
Для решения использetv общее уравнение динамики.
Принимаем, что ускорение груза равно a , а его возможное перемещение s . Тогда
|
|
a |
|
|
s |
|
угловое ускорение барабана |
R , а его возможное угловое перемещение |
R . |
||||
|
|
114
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S115x1.jpg)
Рис. 85
К грузу и барабану приложим силы веса mg и m1g , силу инерции груза Ф ma и момент сил инерции:
M ф J |
mR2 |
|
a |
|
mRa |
|
|
|
|
|
|||
о |
2 |
|
R |
2 . |
||
|
|
Из общего уравнения динамики, получим
( mg Ф ) s M оф 0
или после преобразований получим
a 2mg m1 2m .
ЗАДАЧА 60
Три одинаковых ролика массой m1 и радиусом r каждый перемещают горизонтальную плиту массой m . Ко всем роликам приложены равные вращающие моменты M . Определить ускорение плиты при условии, что она движется по роликам без проскальзывания. Ролики считать сплошными однородными цилиндрами.
Рис. 86
Решение Для решения будем использовать общее уравнение динамики.
115
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S116x1.jpg)
Принимаем, что ускорение плиты равно a , а ее возможное перемещение s . Тогда
|
|
a |
|
|
s |
|
r , а его возможное угловое перемещение |
r . |
|||||
угловое ускорение каждого ролика |
|
|
Рис. 87
К плите и роликам приложим силы и пары сил: вес mg и m1g , вращающие моменты M , силу инерции плиты Ф ma и моменты сил инерции роликов
M ф J |
m r 2 |
|
a |
|
m ra |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о |
2 |
|
r |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для данной системы имеем общее уравнение динамики |
Ф s 3( M M ф ) 0 |
, |
||||||||||||||||
о |
||||||||||||||||||
откуда ma s 3( M |
|
m1ra s |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
) r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3M |
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
1 |
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далее получаем |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
2 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
6 M |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
( 3m 2m )r |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 61
Груз А массой m1, опускаясь вниз, приводит в движение цилиндрический каток В массой m и радиусом R при помощи нити, намотанной на каток. Определить ускорение груза,
если коэффициент трения качения равен , а каток катится без проскальзывания. Массой блока Д пренебречь.
Рис. 88
116
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S117x1.jpg)
Решение Для решения будем использовать общее уравнение динамики.
Рис. 89
Принимаем, что ускорение груза равно a1 , а его возможное перемещение s1. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
с |
|
а1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
с |
s1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ускорение центра |
масс |
катка |
|
|
|
|
|
|
2 , |
его возможное |
|
перемещение |
|
2 |
, |
|
угловое |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
, а его возможное угловое перемещение 2R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ускорение катка - |
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
К грузу и катку приложим силы и пары сил: вес |
mg и m1g , |
нормальную реакцию |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхности |
N mg , |
|
|
силу |
|
трения |
Fтр , момент |
|
сопротивлению |
|
качению |
|
катка |
|||||||||||||||||||||||||||
M кат N mg , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф1 ma1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фc mac |
mа1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 и |
||||||||||||||
силу инерции груза |
силу инерции катка |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ф |
J |
|
|
mR2 |
|
|
a |
|
mRa |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
2 |
|
|
2R |
|
|
4 . |
|
|
||||
инерционный момент катка, который можно выразить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Общее уравнение динамики имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(m g Ф ) s Ф s (M |
|
|
|
M ф ) 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
с |
|
|
с |
|
|
|
|
кат |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( m g m a |
) s |
|
|
mа1 |
s1 |
( mg |
mRa1 |
) s1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2R |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Преобразуя последнее уравнение, получим выражение для ускорения груза |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
mg |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m g |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2R |
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117 |
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S118x1.jpg)
а1 |
|
4( 2m1R m ) |
g |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
R( 8m1 |
3m ) . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 62 |
|
Постоянный вращающий момент |
Мвр |
приложен к барабану лебедки радиуса r и массы |
|||||
|
m. К концу А троса прикреплен груз массы m1, который поднимается по наклонной плоскости с углом α . Определить ускорение груза, пренебрегая трением между грузом и наклонной плоскостью. Барабан лебедки считать однородным круглым цилиндром.
|
|
|
Рис. 90 |
|
Решение |
|
|
|
|
|
Мвр – |
|||
На рисунке (рис.36) mg |
, |
m1g |
– силы тяжести барабана лебедки и груза; |
|
|
|
|
Ф |
|
вращающий момент; Ф – сила инерции груза; M о – момент сил инерции точек барабана; δs – возможное перемещение груза; δφ – возможное угловое перемещение барабана.
Рис. 91
На основании общего уравнения динамики имеем
(Mвр MоФ ) (m1g sin Ф) s 0 .
Воспользуемся зависимостями:
118
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S119x1.jpg)
s R ; |
Ф m1a; |
|
a R; |
|
|
|
|
|
|||
M Ф J |
mR2 |
|
a |
|
1 |
maR; |
J |
|
|
mR2 |
, |
|
|
|
o |
|
|||||||
о o |
2 |
|
R |
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
где a – ускорение груза; ε – угловое ускорение барабана; Jo – момент инерции барабана относительно оси вращения.
С учетом указанных выше зависимостей находим ускорение груза
a M вр m1gRsin (m1 12 m)R
ЗАДАЧА 63
К зубчатой рейке массы m приложена сила Т. Рейка приводит в движение зубчатое колесо радиуса r и массы m1, к которому приложен момент сопротивления Мс. Определить угловое ускорение колеса, считая его однородным диском.
Рис. 92
Решение Рейка совершает поступательное движение с ускорением
вращательное движение с угловым ускорением ε.
Приложим к звеньям механизма силы mg , m1g , Ф и моменты
a, зубчатое колесо –
МM Ф
си о .
Рис. 93
При сообщении рейке возможного поступательного перемещения δs, колесо получит возможное вращательное перемещение δφ.
Общее уравнение динамики имеет вид
119
![](/html/2706/1272/html_1LKMzVWun3.cxHC/htmlconvd-wtqX4S120x1.jpg)
(T Ф) s (M |
c |
M Ф ) 0 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеют место следующие зависимости: |
|
|||||||||||||
s r ; |
a a |
A |
a |
r; |
|
Ф m a m r; |
||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
M Ф J |
mr 2 |
; |
|
J |
|
|
mr 2 |
, |
|
|||||
|
|
o |
|
|
||||||||||
о |
o |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a – ускорение рейки; ε – угловое ускорение колеса; Jo – момент инерции колеса относительно оси вращения
Используя указанные выше зависимости, определяем угловое ускорение колеса
|
T |
|
M c |
|
||
|
|
r |
|
|||
|
|
|
||||
|
(m |
1 |
m)r |
|||
|
|
|||||
|
1 |
2 . |
||||
|
|
ЗАДАЧА 63
Центробежный регулятор вращается в установившемся режиме вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Определить угол отклонения стержней СА и СВ от
вертикали, принимая во внимание только массу m каждого из шаров А и В, а также массу m1 муфты С. Все стержни имеют одинаковую длину.
Рис. 94
Решение Для решения воспользуемся общим уравнением динамики.
Приложим к системе силы тяжести mg и m1g , силы инерции шаров:
ФАn ФВ n m 2l sin .
120