789
.pdfИз первой формулы следует, что скорость движения груза будет постоянной по величине, т.е. будет сохранять начальное значение. Из третьей формулы можем выразить натяжение нити
N mg cos
Подставив полученное выражение силы натяжения во вторую формулу, получим
m |
V 2 |
|
mg |
sin , |
|
l sin |
cos |
||||
|
|
|
|
|
V |
lg sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
Откуда скорость |
cos |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 41 |
|
|
|
|
|
При движении |
поезда массы m по |
участку |
пути однородного |
профиля сила |
||||||
сопротивления движению изменяется по закону R R0 aV , где |
R0 и |
a - |
постоянные |
|||||||
величины; V - |
переменная скорость поезда. |
Сила тяги |
локомотива |
изменяется |
по закону |
|||||
Т F0 bV , |
где F0 |
и b - постоянные величины ( F0 R0 ). Определить закон изменения |
скорости и закон движения поезда.
Решение Примем поезд за материальную точку. Направим координату Х по направлению
движения Начало координат совпадает с начальным положением поезда.
Рис. 62
Изобразим точку в промежуточный момент времени на ее траектории. К точке приложены сила тяжести mg , движущая сила Т , сила сопротивления R и нормальная реакция
плоскости N .
Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
m |
dV |
(F bV ) (R |
|
aV ) |
|
0 |
|||
|
dt |
0 |
|
|
|
|
|
. |
Перегруппировав слагаемые, получим
91
m |
dV |
|
(b a)V |
|
F0 R0 |
|
dt |
m |
m . |
решение этого уравнения имеет вид
V C1e qt qp , где
|
|
q |
a b |
, p |
|
F0 R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Постоянная интегрирования С1 |
определяется из начальных условий: при t 0 ; V 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||
C1 |
|
F0 R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
F R |
|
( |
a b |
)t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
(1 e qt ) |
0 |
0 |
1 e |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Закон изменения скорости |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Установившееся значение скорости (значение |
скорости |
через |
достаточно |
большой |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Vуст |
limV |
|
p |
|
|
|
F0 R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
b a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
промежуток времени) |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Подставляя зависимости V=dx/dt , получим дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
p |
(1 e qt )dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После интегрирования которого |
|
с учетом |
начального условия |
( |
t 0 |
; |
x |
0 |
0 |
), |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
находим закон движения точки
|
p |
|
1 |
1 e |
|
x |
t |
||||
|
|
||||
|
q |
|
q |
||
|
|
qt
.
ЗАДАЧА 42
Горизонтальная трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси Az. В трубке находится тяжелый шарик М. Найти движение шарика
относительно трубки, если в начальный момент шарик находился на расстоянии AM0 b от оси вращения, а его относительная скорость была равна нулю.
Решение
Введем подвижную ось Ах , совпадающую с осью трубки АВ. Примем шарик за материальную точку. Движение шарика вдоль трубки при условии, что трубка неподвижна, является относительным; вращательное движение шарика вместе с трубкой вокруг оси Az является переносным. Учитываем, что в рассматриваемый момент времени шарик находится на расстоянии х от оси вращения.
92
Рис. 63
На шарик действуют силы: вес |
mg |
и реакции стенок трубки |
Nверт |
и |
Nгор |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Составим уравнение относительного движения шарика |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m а |
m а |
m а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
mg |
N |
|
|
N |
|
кор . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
отн |
|
|
|
|
|
верт |
|
|
|
гор |
|
|
пер |
|
пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку |
вращение трубки |
происходит с |
постоянной |
скоростью, следовательно, |
||||||||||||||||||||||||
угловое ускорение 0 |
и поэтому |
апер х 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
а |
|
2 х |
|
|
|
а |
|
2 V |
|
sin( |
|
V |
|
) 2 x sin90 2 x |
|
||||||||
аотн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
пер |
|
|
|
|
; |
|
|
|
кор |
|
отн |
|
|
|
от |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
х ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Спроектировав уравнение на ось Ах, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
mx m 2 x ; |
|
или |
|
|
|
x 2 x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение этого уравнения имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x C1e t C2e t .
Относительная скорость точки x ( C1e t C2e t ).
Подставив в полученные выражения начальные условия t 0 ; x b ; x 0 , получим систему уравнений для нахождения констант интегрирования
b C1 C2
0 ( C1 C2 ) .
C C |
|
|
b |
|
2 |
|
|||
1 |
2 . |
|||
Откуда |
|
Закон относительного движения шарика
x |
b |
( e t e t ) |
|
||
2 |
. |
93
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ЗАДАЧА 43
Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиуса r , чтобы оно, катясь без проскальзывания, поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом ?
Коэффициент трения качения равен . Колесо считать однородным диском. Определить также ускорение оси колеса.
Решение (рис. 64)
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
nA
T T0 Ake
i 1 .
Рис. 64
Кинетическая энергия колеса в начальном положении
T 0 |
mV |
2 |
|
|
J |
|
2 |
|
3mV 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c |
|
|
|
c |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
1 |
mr 2 |
|
|
|
|
Vc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
r . |
||||||
Собственный момент инерции колеса равен |
|
|
|
|
и его угловая скорость |
|
||||||||||||||||||||||||
На колесо действуют силы: тяжести mg , нормальная реакция плоскости N mg cos , |
||||||||||||||||||||||||||||||
трение скольжения |
Fтр |
и |
момент |
трения качения |
M тр N |
. Работа активных сил, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
приложенных к колесу, с учетом того, что угол поворота колеса равен |
r , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak |
|
mgs sin (N ) mgs sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
. |
|
|
|
|
|
|
||
На основании указанной теоремы имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
mVc |
|
|
|
|
mV0 |
|
mgs sin |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94 |
В верхнем положении колесо остановится, следовательно, Vc 0 и перемещение оси
колеса составит s |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
. Скорость оси колеса в начальном положении |
||||||||||||||||||||
sin |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
VС 0 |
|
|
|
|
|
gh 1 |
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Дифференцируя по времени это выражение, получим |
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
||||||||
2 |
|
V |
|
|
|
|
c |
g sin |
|
cos |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
c |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
r |
dt . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
dt ) |
|
Ускорение оси колеса (учитываем, что |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dV |
|
|
|
|
2g |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ac |
|
|
|
c |
|
|
|
|
sin |
|
cos |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
3 |
|
r |
. |
|
|
|
ЗАДАЧА 44
Вагонетка для обслуживания пути двигалась по горизонтальному участку пути под действием двигателя. Масса корпуса вагонетки М=5000кг, масса каждой из двух колесных пар m=600кг, коэффициент трения качения =0.003м. Колесные пары представляют собой однородные диски радиуса r=0.3м. Какой путь пройдет вагонетка до остановки после выключения двигателя, если в момент выключения ее скорость была V0=36км/ч?
Решение Конструкция состоит из трех тел: корпуса и двух колесных пар. Корпус движется
поступательно, колесные пары – плоскопараллельно. Используем теорему об изменении кинетической энергии:
nA
T T0 Ake
i 1 .
Рис. 65
95
J |
|
|
1 |
mr 2 |
|
c |
|
|
|||
Собственный момент инерции каждой колесной пары |
2 |
|
, угловая скорость |
||
|
|
V
колес r (V скорость корпуса вагонетки), кинетическая энергия системы может быть выражена
|
MV 2 |
|
mV 2 |
J |
2 |
|
MV 2 |
mV 2 |
|
mr 2 |
V 2 |
|
|
M 3m |
|
||||||||||
T |
|
2 |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 2 r |
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
На рассматриваемую систему действуют силы: тяжести Mg и mg , нормальные реакции |
|||||||||||||||||||||||||
|
N |
|
N |
|
N |
Mg 2mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
колесных пар |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(в силу симметричности конструкции), моменты |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
трения Mтр1 Mтр 2 N1 N2 N , а также трения скольжения |
Fтр1 и |
Fтр2 . Работа |
сил, приложенных к колесу, с учетом того, что угол поворота колеса может быть выражен
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ( s перемещение вагонетки), а также формулы |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Ake (N1 ) (N2 ) 2 M 2m g s |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
nA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
r . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 3m |
V 2 |
M 3m |
V 2 |
|
(M 2m)g s |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
0 |
|
|
r |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Поскольку в конце рассматриваемого промежутка времени вагонетка остановится, |
|||||||||||||||||||||
следовательно, V 0. Поэтому после преобразований получим величину пройденного пути |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(5000 3 600) 0.3 |
36 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
s |
|
(M 3m)rV0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3600 |
|
55.9м |
||||
|
|
|
|
2(M |
2m)g |
|
2 (5000 2 600) 9.81 0.03 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
ЗАДАЧА 45
По призме Е массой m 7 кг могут двигаться тележки А и В массами m1 1кг и
m2 2 кг соответственно . Тележки связаны тросом. В начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, а затем тележка А начинает двигаться относительно призмы вправо под действием внутренних сил. Пренебрегая потерями на трение, определить
перемещение призмы Е для момента времени t1 0.5 с, если закон относительного движения тележек s 2t2 м.
96
Рис. 66
Решение Система состоит из трех подвижных тел и все тела двигаются поступательно. На систему
тел действуют внешние силы: |
тяжести |
mЕ g , |
mА g и mВ g , а |
также |
результирующая |
|||||||||||||
нормальной |
реакции поверхности N . |
Для решения используем |
теорему об изменении |
|||||||||||||||
количества движения системы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dQx |
Fkxe ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
nF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
nF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fkxe 0;Q |
|
const 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По |
|
условию |
|
задачи (все |
внешние |
силы |
вертикальны, вначале система неподвижна, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
призма Е перемещается по горизонтальной плоскости). |
Qx M xc 0; xc const xcv |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
Выполняется закон сохранения проекции центра масс системы на ось Ох: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk хk |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
х |
|
k 1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
c |
|
|
co |
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
mk |
|
|
|
|
mk хk |
mk хkv |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
С помощью этой зависимости составим выражение:
m1 x10 m2 x20 m x0
m1 (x10 sотн sпер ) m2 (x10 sотн cos60 sпер ) m(x0 sпер ),
где sотн =2t2 –закон относительного движения тележки;
sпризм = sпер –переносное перемещение тележки (перемещение призмы) Окончательно найдем
sприз |
m1 m2 cos60 |
sотн |
|
m m m |
|||
|
|
||
|
1 |
2 |
м. |
|
|
||
При m 7 кг, |
m1 1кг и m2 2 кг, и t1 0.5 с получим |
97
|
|
1 2 0.5 |
|
0.1 |
||
sприз |
2t 2 |
|
||||
7 1 2 |
||||||
|
|
|
t 0.5 |
м. |
||
|
|
|
|
ЗАДАЧА 46
Механизм шарнирного параллелограмма состоит из двух кривошипов О1А и О2В, а также шатуна АВ, имеющих массу m и длину l каждый. Кривошипы вращаются с постоянной угловой скоростью . Определить сумму горизонтальных составляющих реакций шарниров О1 и О2 в функции угла .
Решение Система состоит из трех подвижных тел, два из которых двигаются вращательно, а одно
– поступательно. На систему тел действуют внешние силы: тяжести mg , а также
составляющие реакций неподвижных шарниров Х О1 , YО1 , ХО2 , YО2 . По теореме о движении центра масс системы в проекции на ось Х
Рис. 67
nF
M хc Fkeх
i 1 ,
где М=3m и Fkx =X01 + X02 .
Горизонтальная координата центра масс равна:
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk |
хk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c |
|
3m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
|
cos m l cos |
|
|
m l cos l |
|
cos |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
|
|
|
3 |
|
Дифференцируя это выражение по времени t , с учетом t , получим
3
. 2
98
х |
|
|
2l |
( sin ) |
2l |
sin |
||||
c |
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2l |
|
2l 2 |
||||
х |
|
|
|
cos |
|
|
cos |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
c |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Сумма горизонтальных составляющих реакций шарниров равна:
|
|
|
2l 2 |
|
Х О1 Х О 2 |
3m |
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
2ml 2 |
cos |
cos |
||
|
|
. |
|
|
ЗАДАЧА 47
Тонкий однородный стержень ОА массы m и длины l может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О. В начальный момент стержень отведен в горизонтальное положение и
отпущен без начальной скорости. Определить реакцию оси О при повороте стержня ОА на угол
30 .
Решение. (рис. 68)
Рис. 68
К стержню приложена сила тяжести mg , а также составляющая реакции шарнира О вдоль осей координат Х О , YО .
Используем теорему о движении центра масс в проекциях на оси координат
m х |
|
e |
|
|
c |
|
F k x |
m хc XO |
|
|
|
e |
m y Y mg |
|
m yc |
F k y |
|||
|
|
|
c O |
Составляющие реакции оси О определяются по формулам:
X O m хc
Y mg m y .
O c
99
Координаты центра масс стержня
x |
|
|
l |
|
|
cos |
y |
|
|
l |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
c |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
и |
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При дифференцировании получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
l |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
l |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
l |
cos 2 |
|
|
l |
sin |
|
|
|
|
y |
|
l |
sin 2 |
l |
cos |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
2 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
При 30 , sin =0,5;. cos =0,5 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
2 |
3g sin |
1.5 |
g |
|
|
|
3g cos |
0.75 |
|
|
g |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
, |
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
Приходим к окончательному результату
X O m хc 0.974mg
YO mg m yc 0.8125mg .
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
ЗАДАЧА 48
Тонкий однородный стержень массы m и длиной OA l может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О . В начальный момент времени стержень отведен в горизонтальное положение и отпущен без начальной скорости. Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня, когда он повернется на угол .
Решение По теореме об изменении кинетического момента системы составим дифференциальное
уравнение вращательного движения стержня вокруг оси О.
J |
d |
mg |
l |
cos |
|
|
|
|
|||
|
dt |
2 |
|
. |
Учитывая, что момент инерции стержня равен:
J ml 2
3 ,
получим
d 3g cos dt 2l
Воспользуемся подстановкой,
|
d |
|
d |
|
d |
|
d |
|
dt |
d dt |
d |
||||||
|
|
|
100