Метод указ к.р. Динамика

21

nF

Fkxe 0;Qx const 0

i 1

По условию задачи (все внешние силы вертикальны, вначале система неподвижна, призма Е перемещается по горизонтальной плоскости).

Qx M xc 0; xc const xcv Выполняется закон сохранения проекции центра масс системы на ось Ох:

k1

Спомощью этой зависимости составим выражение:

где sотн =2t2 –закон относительного движения тележки;

sпризм = sпер –переносное перемещение тележки (перемещение

призмы)

Окончательно найдем

Задача 11 (рис.12)

Механизм шарнирного параллелограмма состоит из двух кривошипов О1А и О2В, а также шатуна АВ, имеющих массу m и длину l каждый. Кривошипы вращаются с постоянной угловой скоростью . Определить

21

22

сумму горизонтальных составляющих реакций шарниров О1 и О2 в функции угла .

Решение. (рис.12)

Система состоит из трех подвижных тел, два из которых двигаются вращательно, а одно – поступательно. На систему тел действуют внешние силы: тяжести mg , а также составляющие реакций неподвижных шарниров

ХО1 , YО1 , ХО2 , YО2 .

По теореме о движении центра масс системы в проекции на ось Х

(рис.12)

Дифференцируя это выражение по времени t , с учетом t , получим

22

23

хc 23l ( sin ) 2l3 sinхc 23l cos 2l3 2 cos

Сумма горизонтальных составляющих реакций шарниров равна:

Задача 12 (рис.13)

Тонкий однородный стержень ОА массы m и длины l может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О. В начальный момент стержень отведен в горизонтальное положение и отпущен без начальной скорости. Определить реакцию оси О при повороте стержня ОА на угол 30 .

Решение. (рис.13)

(рис.13)

К стержню приложена сила тяжести mg , а также составляющая реакции шарнира О вдоль осей координатÕÎ , YÎ .

23

24

Используем теорему о движении центра масс в проекциях на оси координат

Составляющие реакции оси О определяются по формулам:

X O m õc

YO mg m yc .

Координаты центра масс стержня

xc 2l cos и yc 2l sin .

При дифференцировании получим

24

25

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Задача 13 (рис.13)

Тонкий однородный стержень массы m и длиной OA l может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О . В начальный момент времени стержень отведен в горизонтальное положение и отпущен без начальной скорости. Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня, когда он повернется на угол .

Решение. (рис.13)

По теореме об изменении кинетического момента системы составим дифференциальное уравнение вращательного движения стержня вокруг оси

О.

J ddt mg 2l cos .

Учитывая, что момент инерции стержня равен:

d 3g cos . d 2l

Разделим переменные и проинтегрируем исходное дифференциальное

уравнение вращательного движения стержня с учетом начальных условий движения (при =0, 0 =0

d 3g cos2l d

25

Задача 14 (рис.14)

(рис.14)

Доска ОА массой m =4кг и длиной l =1м может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О. В неподвижную доску на расстоянии b =0.8м

от оси О попадает и застревает пуля массой m1=0.01кг, летевшая со

скоростью V1 =800м/с. Определить угловую скорость доски после попадания пули. При вычислении момента инерции доску считать однородным стержнем.

Решение. (рис.15)

26

27

(рис.15)

На доску действуют силы: mg , а также составляющие реакций оси ХО

и YО.рис.14. После попадания пули в доску действуют силы: mg , m1g , а также составляющие реакций оси ÕÎ и YÎ .рис.15.

На основании теоремы об изменении кинетического момента имеем

ddtK z mz Fek ; mz Fek 0; K z const K z 0.

Это уравнение называется законом сохранения кинетического момента

системы относительно оси.

Тогда следует K z 0 m 1V 1 b , (доска неподвижна)

С помощью равенства

m1V1b ml3 2 m1 b2 ,

Определим угловую скорость доски

27

28

Задача 15 (рис.16)

Горизонтальная трубка длиной l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси О1О2 . Внутри трубки на расстоянии b от оси находится шарик массой m . В начальный момент трубке сообщается начальная угловая скорость 0 . Момент инерции трубки относительно оси вращения Jz . Пренебрегая потерями на трение, определить угловую скорость трубки в момент, когда шарик вылетит из трубки.

(рис.16)

Решение. (рис.16)

На систему тел действуют внешние силы: Мg , mg , а также составляющие реакций опор оси ХО1 , YО1 , ХО2 .

На основании теоремы об изменении кинетического момента имеем

ddtK z mz Fek ; mz Fek 0; K z const K z 0.

В данном случае выполняется закон сохранения кинетического момента

системы относительно оси. Составим уравнение

Kz 0 mvb J z 0 (mb2 J z) 0 , Kz mvl J z (ml2 J z) ,

28

29

где v0 и v -скорость шарика соответственно в начальном и конечном

положении во вращательном движении вместе с трубкой вокруг оси O1O2

(оси O1z ) v0 = 0 b, v= l .

Угловая скорость трубки

J z m l 2 J z 0 m 0b2 .

Jmb2

Jzz ml 2 0 ;( 0).

Задача 16 (рис.17)

Груз массой m подвешен на тросе, навитом на барабан массой m1 с горизонтальной осью вращения. Пренебрегая потерями на трение и считая барабан сплошным однородным цилиндром, определить ускорение груза.

(рис.17)

Решение. (рис.17)

На систему тел действуют внешние силы: m1g , mg , а также составляющие реакций опор оси ХО, YО.

На основании теоремы об изменении кинетического момента имеем

29

30

ddtK z mz Fek ; mz Fek mgR.

Кинетический момент системы относительно оси вращения барабана:

Задача 17 (рис.18)

Через блок массой m1 0.2m , имеющего горизонтальную ось вращения,

переброшена веревка, к одному концу которой подвешен груз массой m , а за другой конец ухватился человек, имеющий ту же массу m . Пренебрегая

массой веревки и считая массу блока равномерно распределенной по его

ободу, определить скорость груза, если человек начнет подниматься по веревке с относительной скоростью u .

30