Метод указ к.р. Динамика

11

- x mF0 2 cos 2 V0 2 mF0 2 V0 2 mF0 2 .

Задача 5 (рис6.)

Груз массы m подвешен на нити длиной l . В начальный момент времени груз отклонили в сторону (нить натянута) и сообщили ему горизонтальную скорость, перпендикулярную нити. Найти величину скорости груза и натяжение нити, если нить составляет с вертикалью постоянный угол .

Решение. (рис6.)

Будем считать груз материальной точкой. Приложим к грузу силу тяжести mg и натяжение нити N .

(рис6.)

Как следует из условия задачи, при движении груза нить описывает коническую поверхность, траекторией груза является окружность с центром в точке В и радиусом АВ=l sin . Если известна траектория, воспользуемся

11

12

естественной системой координат (τ, η, β ) и уравнениями движения в естественной форме

Из первой формулы следует, что скорость движения груза будет постоянной по величине, т.е. будет сохранять начальное значение. Из третьей формулы можем выразить натяжение нити

N mg cos

Подставив полученное выражение силы натяжения во вторую формулу, получим

Задача 6. (рис.7)

При движении поезда массы m по участку пути однородного профиля сила сопротивления движению изменяется по закону R R0 aV , где R0 и a - постоянные величины; V - переменная скорость поезда. Сила тяги локомотива изменяется по закону Т F0 bV , где F0 и b - постоянные величины ( F0 R0 ). Определить закон изменения скорости и закон движения поезда.

Решение. (рис.7)

Примем поезд за материальную точку. Направим координату Х по направлению движения Начало координат совпадает с начальным положением поезда.

12

13

(рис.7)

Изобразим точку в промежуточный момент времени на ее траектории. К

13

14

Установившееся значение скорости (значение скорости через достаточно

Задача 7. (рис.8)

Горизонтальная трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростьювокруг вертикальной оси Az. В трубке находится тяжелый шарик М. Найти движение шарика относительно трубки, если в начальный момент шарик находился на расстоянии AM0 b от оси вращения, а его относительная скорость была равна нулю.

Решение. (рис.8)

Введем подвижную ось Ах, совпадающую с осью трубки АВ. Примем шарик за материальную точку. Движение шарика вдоль трубки при условии, что трубка неподвижна, является относительным; вращательное движение шарика вместе с трубкой вокруг оси Az является переносным. Учитываем,

14

15

что в рассматриваемый момент времени шарик находится на расстоянии х от оси вращения.

(рис.8)

На шарик действуют силы: вес mg и реакции стенок трубки Nверт и

Nгор.

Составим уравнение относительного движения шарика

Поскольку вращение трубки происходит с постоянной скоростью, следовательно, угловое ускорение 0 и поэтому апер х 0 .

Заметим, что

акор 2 Vотн sin( Vот ) 2 x sin90 2 x .

Спроектировав уравнение на ось Ах, получим mx m 2 x ; или

Решение этого уравнения имеет вид:

x C1e t C2e t .

Относительная скорость точки

x ( C1e t C2e t ).

15

16

Подставив в полученные выражения начальные условия t 0 ; x b ; x 0 , получим систему уравнений для нахождения констант интегрирования

Закон относительного движения шарика

x b2 ( e t e t ).

ТЕОРЕМА ОБИЗМЕНЕНИИКИНЕТИЧЕСКОЙЭНЕРГИИ

Задача 8 (рис.9)

. Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиуса r , чтобы оно, катясь без проскальзывания, поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом ? Коэффициент трения качения равен . Колесо считать однородным диском. Определить также ускорение оси колеса.

Решение. (рис.9)

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

nA

T T0 Ake .

i 1

16

17

(рис.9)

скорость Vrc ,

На колесо действуют силы: тяжести mg , нормальная реакция плоскости N mg cos , трение скольжения Fтр и момент трения качения M тр N .

Работа активных сил, приложенных к колесу, с учетом того, что угол

положении

17

Задача 9 (рис.10)

Вагонетка для обслуживания пути двигалась по горизонтальному участку пути под действием двигателя. Масса корпуса вагонетки М=5000кг, масса каждой из двух колесных пар m=600кг, коэффициент трения качения=0.003м. Колесные пары представляют собой однородные диски радиуса r=0.3м. Какой путь пройдет вагонетка до остановки после выключения двигателя, если в момент выключения ее скорость была V0=36км/ч?

Решение. (рис.10)

Конструкция состоит из трех тел: корпуса и двух колесных пар. Корпус движется поступательно, колесные пары – плоскопараллельно. Используем теорему об изменении кинетической энергии:

nA

T T0 Ake .

i 1

18

19

(рис.10)

Работа сил, приложенных к колесу, с учетом того, что угол поворота колеса может быть выражен rs ( s перемещение вагонетки), а также формулы

Поскольку в конце рассматриваемого промежутка времени вагонетка остановится, следовательно, V 0. Поэтому после преобразований получим величину пройденного пути

19

20

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Задача 10 (рис.11)

По призме Е массой m 7 кг могут двигаться тележки А и В массами

m1 1кг и m2 2 кг соответственно . Тележки связаны тросом. В начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, а затем тележка А начинает двигаться относительно призмы вправо под действием внутренних сил. Пренебрегая потерями на трение, определить перемещение призмы Е для момента времени t1 0.5с, если закон относительного движения тележек s 2t2 м.

(рис.11)

Решение. (рис.11)

Система состоит из трех подвижных тел и все тела двигаются поступательно. На систему тел действуют внешние силы: тяжести mЕg , mАg и mВg , а также результирующая нормальной реакции поверхности N . Для решения используем теорему об изменении количества движения системы:

20