Лабораторні роботи 1 курс

Момент інерції тіла масою m відносно осі, що знаходиться на відстані d від центру його маси (теорема Штейнера)

1.2.2 Основні закономірності

Основне рівняння динаміки обертального руху

Швидкість зміни dL моменту імпульсу тіла рівна головному моменту

dt

M зовнішніх сил, відносно точки обертання

dLdt = M

Зміна моменту імпульсу dL тіла рівна імпульсу моменту зовнішніх сил dL = Mdt (22)

Враховуючи (11), (14) та визначення кутового прискорення ε формула (22) приймає вид

81

З рівностей (12) та (22) слідує, що під дією зовнішнього моменту сил M , результуючий момент імпульсу тіла приймає значення

де L0 – імпульс тіла до дії моменту сил,

dL – зміна моменту імпульсу тіла під дією імпульсу моменту сил.

Закон збереження моменту імпульсу тіла

Якщо момент зовнішніх сил M = 0 , або час його дії t = 0, то момент

імпульсу L тіла (чи системи тіл) залишається сталим як за величиною так і за напрямом.

Закон збереження механічної енергії

Якщо в замкненій системі тіл не діють неконсервативні сили (тертя, напружні деформації і т.п.), то при будь-яких перетвореннях механічної енергії її сумарний запас залишається сталим.

Якщо ж система тіл не замкнута, або в системі діють неконсервативні сили, то частина механічної енергії іде на виконання роботи А проти зовнішніх сил, або перетворюється в немеханічний вид енергії Q (наприклад, тепло).

82

2. Будова, теоретичні основи та принцип дії пристрою «Гіроскоп» ФМ-18М

2.1 Будова пристрою ФМ-18М

Пристрій ФМ-18М показаний на мал.1 складається з: основи 2, корпусу 4 з вузлом підшипників, вертикальним валом з гвинтом фіксації 13 і колектором. На валу встановлений лімб 12 і вилка 6. На вилці 6 встановлена гіроскопічна система 8. Основа 2 має три регулювальні опори 1 з фіксуючими гвинтами 3 і рівнем 15.

Лімб 12 і покажчик 5 встановлені на корпусі 4, дозволяють визначати кут повороту гіроскопічної системи під час прецесії.

Гіроскопічна система 8 складається з електродвигуна – маховика з вбудованим датчиком швидкості обертання, стержнів 7,11. На стержні в процесі роботи встановлюють вантаж 10 з фіксуючим гвинтом 9.

Мал.1. – Лабораторний пристрій «Гіроскоп» ФМ-18М

Гіроскопічна система попередньо (при наладці пристрою) вільно зрівноважена.

Стержні 7,11 і вантаж 10 призначені для створення моменту зовнішніх сил, який зумовлює прецесію гіроскопу. Для зручності встановлення вантажу на стержнях нанесені мітки.

83

Гіроскоп в складі лабораторного пристрою працює разом з блоком електронним ФМ18, до якого приєднується з допомогою кабеля з роз’ємом 14. Блок електричний ФМ18 виконаний у вигляді конструктивно завершеного виробу. В ньому встановлений мікроконтролер з відповідними додатковими пристроями, що дозволяють виконувати вимірювання частоти обертання маховика гіроскопу і кутову швидкість його прецесії з індикацією результатів, а також здійснювати функції керування гіроскопом (ввімкнення, вимкнення і регулювання частоти обертання приводу маховика гіроскопу). В склад блоку електронного входять також джерело живлення як самого блоку електронного так і гіроскопу.

На передній панелі блоку електронного розміщені наступні органи керування і індикації:

– кнопка «Пуск/стоп-сброс» призначення:

-для ввімкнення і вимкнення (шляхом повторного натискання) приводу обертання маховика гіроскопу, при цьому кнопка повинна утримуватися в натиснутому стані на протязі 1-2с до індикації відповідного режиму («(0)» – вимкнено, «(І)» – ввімкнено) на індикаторному табло;

-для встановлення нульових показів індикаторного табло (шляхом короткочасного натискання);

– кнопка «Частота +» і «Частота –» – призначені для встановлення граничної частоти обертання маховика гіроскопу, натискання відповідної кнопки приводить до її збільшення (зменшення);

– рідкокристалічне табло індикації – призначене для індикації вимірюваних величин і режимів.

На табло виводиться наступна інформація:

– дійсне значення і граничне значення частоти обертання маховика

гіроскопу – відповідно через знак « / » ( f =*** / ***Гц) ;

– значення кутової швидкості обертання гіроскопічного вузла (прецесії)

(ω =*,** рад/ с ), (ω =ωГ =ωП )

Примітка: 1. Частота обертання маховика гіроскопа позначена літерою f , тобто ν = f .

2. Знаки « * » відповідають цифровим значенням вимірюваної величини.

–стан приводу обертання маховика гіроскопу (( І ) – ввімкнуто, ( 0 ) – вимкнуто).

–на індикаторному табло кутова швидкість повороту (прецесії) ωП

гіроскопічної системи позначена ω, тобто ω ≠ωП .

84

Блок електронний з допомогою шнурів приєднується до гіроскопу ФМ18М та електромережі 220В.

2.2 Теоретичні основи та принцип роботи пристрою «Гіроскоп» ФМ-18М.

Гіроскопом (дзиґа) називають масивне тіло, що обертається навколо матеріальної (динамічної) вісі симетрії і може змінювати свою орієнтацію в просторі.

Щоб вісь гіроскопу могла вільно змінювати свою орієнтацію в просторі, його встановлюють на карданному підвісі, що має три взаємно перпендикулярні вісі обертання АА, ВВ, ДД (мал. 2).

Всі три вісі перетинаються в одній точці, яка називається центром карданного підвісу. Якщо центр карданного підвісу співпадає з центром маси гіроскопу, то гіроскоп називають зрівноваженим, або вільним, якщо ж не співпадає – то незрівноваженим, або важким.

Розглянемо динамічні явища вільного гіроскопу.

1. Нехай вісь гіроскопу, а значить і його момент імпульсу L утворюють кут β з вертикальною віссю ДД (мал.2).

dϕ

d L

L β dϕ MЗ

β l ωП

FЗ

Мал. 2 – Виникнення прецесії гіроскопу ωП

85

На вісь гіроскопу, паралельно осі ДД, діє зовнішня сила FЗ . Ця сила

створює обертовий момент MЗ , направлений вздовж вісі ВВ (7). Момент MЗ , згідно основного рівняння динаміки обертального руху (22), зумовлює зміну моменту імпульсу d L гіроскопу

dL = MЗdt

Через час dt момент імпульсу гіроскопу буде (24).

L = L0 + d L

Так як, dL ↑↑ MЗ , а MЗ L, то dL L. При цьому внаслідок дії моменту зовнішніх сил MЗ , момент імпульсу L гіроскопу, а значить і його вісь, буде змінювати тільки напрям (величина L буде сталою), тобто гіроскоп

буде обертатися навколо вісі ДД. Таке обертання називають прецесією.

Згідно Мал.2, зміна моменту імпульсу dL гіроскопу рівна

dL = dϕ L

Так як, dL = Mdt то має місце рівність

Враховуючи, що ddtϕ =ωП – є кутовою швидкістю прецесії, отримуємо закономірність, яка встановлює зв'язок між моментом зовнішніх сил MЗ , моментом імпульсу L гіроскопу і кутовою швидкістю його прецесії ωП ,

З (30), (31) слідує:

– якщо до вільного гіроскопу прикладений момент зовнішньої сили, то гіроскоп буде прецесіювати;

86

– кутова швидкість прецесії пропорційна MЗ і обернено пропорційна моменту імпульсу L гіроскопа та sin β , або обернено пропорційна моменту інерції гіроскопу J , його кутовій частоті ν та sin β .

– напрям кутової швидкості ω прецесії перпендикулярний до MЗ

При створенні MЗ силою, що має постійний напрям (наприклад, силою тяжіння FT = mвg додаткового вантажу масою mв , центр маси якого співпадає

з віссю гіроскопу і знаходиться на відстані l від центру маси самого гіроскопу (незрівноважений гіроскоп)) згідно (8) (див. мал.2)

де ω = 2πν (ν – частота обертання маховика гіроскопу).

Тобто, швидкість прецесії ωП незрівноваженого гіроскопу в полі земного

тяжіння не залежить від положення його осі, а залежить тільки від його маси, моменту інерції, кутової швидкості обертання та відстані між центром маси і центром обертання підвісу.

Гіроскопічні ефекти, що випливають з формул (30), (31) повністю підтверджуються на практиці, наприклад:

–під дією сил тяжіння Сонця та Місяця вісь Землі (великий гіроскоп) здійснює прецесійний рух (один оберт за 26000 років);

–вісь гірокомпасу здійснює прецесійний рух;

–дзиґа також здійснює прецесійний рух, з постійною кутовою швидкістю.

2. Специфічне динамічне явище має місце і при обертанні вільного гіроскопу.

Нехай вісь гіроскопу, а отже і його момент інерції L, утворюють кут β з вертикальною віссю ДД (Мал.3)

При обертанні гіроскопу навколо осі ДД з кутовою швидкістю ωГ = ddtϕ

за час dt вектор L також повернеться на кут dϕ =ωГdt , а його кінець переміститься в просторі на dL = dϕ O1C .

87

dϕ

d L

C

L β dϕ

M Г

ωГ

Мал. 3 – Виникнення гіроскопічного моменту M Г

обертовий гіроскопічний момент M Г (реакція гіроскопу), що намагається

88

повернути гіроскоп навколо (горизонтальної) вісі ВВ, яка перпендикулярна і до вектора L і до вектора ωГ ;

– напрям гіроскопічного моменту M Г завжди такий, що він намагається сумістити вектори L і ωГ найкоротшим шляхом; тобто M Г (L,ω,ωГ );

– модуль гіроскопічного моменту M Г пропорційний моменту імпульсу L, моменту інерції J , кутовій швидкості ω, частоті ν обертання маховика гіроскопу та кутовій швидкості обертання гіроскопічної системи ωГ і sin β

(β ≤ L,ωГ ≤ω,ωГ ).

Порівняння формул (30) і (34) показує, що гіроскопічний момент M Г чисельно рівний і протилежний за напрямом моменту зовнішніх сил MЗ , які зумовлюють кутову швидкість прецесії ωП рівну кутовій швидкості обертання ωГ гіроскопічної системи.

які намагаються повернути гіроскопічну систему.

Гіроскопічні ефекти, що випливають з формул (34), (35) також повністю підтверджуються експериментально, наприклад:

– на судні при зміні напрямку руху, коливальні (хитавиці) вісі турбін, двигунів, генераторів, гвинтів, в результаті виникнення M Г , створюють додатковий тиск на підшипники;

–властивість вільного гіроскопу зберігати L сталим використовується для стабілізації руху куль, снарядів, в керованих рухомих пристроях (судна, літаки, ракети і т.п.) для визначення положення і напрямку руху;

–гіроскопічний момент M Г , що виникає в гірокомпасі (незрівноважений

гіроскоп) внаслідок обертання Землі намагається розмістити його вісь в площині меридіану;

– залежність M Г від швидкості судна, зміни курсу, хитавиці зумовлює

похибки в показах гірокомпасу – швидкісну, інерційну, похибку хитавиці, відповідно;

89

малий, що зумовлює похибку показів гірокомпасу.

В лабораторному пристрої «Гіроскоп» ФМ-18М, при виконанні лабораторної роботи, використовуються обидва гіроскопічні явища.

Вимірявши експериментально кутову швидкість прецесії ωП , з формули

(33)визначається момент інерції J гіроскопу.

Вподальшому, використовуючи прецесію гіроскопа, як його обертання

навколо вертикальної вісі з кутовою швидкістю ωГ =ωП , проводяться дослідження залежностей (35) M Г = 2πν JωГ sin β .

Момент зовнішньої сили знаходиться за формулою (32)

MЗ = mвgl sin β

Звичайно, сили тертя в підшипниках гіроскопу впливають на його поведінку (вісь незрівноваженого гіроскопу з часом повільно опускається, що вказує – M Г < MЗ ), але цей вплив малий і, для простоти розрахунків, ним

нехтуємо.

3. Виконання досліджень

3.1 Підготовка обладнання Примітка: Якщо в процесі підготовки обладнання виявлені пошкодження

або відхилення від працездатного стану (нормальна реакція обладнання на дії експериментатора вказана в дужках) – підготовку зупинити та повідомити

викладача.

3.1.1 Огляд обладнання

Візуально переконатися, що: всі компоненти є в наявності (гіроскоп, вантаж, електронний блок ФМ18); механічних пошкоджень немає; гіроскоп підключений до блоку електронного ФМ18; блок ФМ18 заземлений.

3.1.2 Перевірка працездатності обладнання 3.1.2.1 Перевірка механічної працездатності обладнання

Переконатися в тому, що:

–основа пристрою знаходиться в горизонтальному положенні (покажчик рівня знаходиться в центрі кола);

–гіроскоп і вилка його кріплення (при відпущеному фіксуючому гвинті

13)легко обертається навколо своїх вісей;

90